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Probabilités, statistiques et files d'attente

Apprenez les probabilités, les statistiques et les files d'attente avec des QCM centrés sur le calcul : arrangements et combinaisons, principe d'inclusion-exclusion, événement contraire et probabilité conditionnelle, théorème de Bayes, espérance, variance et écart type, lois binomiale, de Poisson, uniforme, normale et exponentielle, médiane, quartiles et boîte à moustaches, coefficient de corrélation et droite de régression, erreur type et intervalle de confiance, test d'hypothèse et valeur p, files d'attente (M/M/1) et loi de Little, probabilités d'erreurs binaires et de contrôle par échantillonnage.

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Probabilités, statistiques et files d'attente : points clés

« Quelle est la probabilité que cela se produise au moins une fois ? » « Quelle est la probabilité qu'une pièce déclarée positive soit réellement défectueuse ? » « Si le taux d'utilisation d'un serveur passe de 80 % à 90 %, de combien le temps d'attente s'allonge-t-il ? » Ce sont les probabilités et les statistiques qui répondent à ce genre de questions. Elles sont l'outil commun qui permet de traiter par les nombres la variabilité et l'incertitude dans de nombreux domaines de l'ingénierie : rendement et fiabilité des semi-conducteurs, erreurs binaires des transmissions, évaluation des performances des ordinateurs, apprentissage automatique, etc.

Ce thème couvre le dénombrement par arrangements et combinaisons, le principe d'inclusion-exclusion, l'événement contraire et l'indépendance, la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes, l'espérance et sa linéarité, ainsi que la variance et l'écart type. Il vérifie ensuite par le calcul les propriétés des lois binomiale, de Poisson, uniforme, normale (règle 68-95-99,7 et centrage-réduction) et exponentielle (absence de mémoire). Côté statistiques, il traite de la médiane, des quartiles et de la boîte à moustaches, du coefficient de corrélation et de la pente de la droite de régression, de l'erreur type et de l'intervalle de confiance, ainsi que de la valeur p et des erreurs de première et de seconde espèce des tests d'hypothèse. La dernière partie calcule le taux d'utilisation, le temps d'attente moyen et le temps de réponse avec le modèle de file d'attente M/M/1, aborde la loi de Little et l'effet de l'organisation des files, et applique ces notions aux probabilités d'erreurs binaires, de contrôle de parité et de contrôle par échantillonnage. Il aide aussi à préparer la partie mathématiques appliquées (probabilités, statistiques et files d'attente) des examens de certification informatique. Les cartes de contrôle et les indices de capabilité sont traités dans « Rendement et contrôle qualité », les taux de défaillance et la loi de Weibull dans « Fiabilité », les matrices de confusion et les modèles d'apprentissage automatique dans « Bases de l'apprentissage automatique », et les calculs de disponibilité dans « Architecture des systèmes et fiabilité ».

Toutes les questions sur Probabilités, statistiques et files d'attente (40)
  1. On choisit 3 membres d'un comité parmi 8 personnes. Si les membres n'ont pas de rôles distincts, quel est le nombre de choix possibles ?
  2. Parmi 5 personnes, on choisit un président, un vice-président et un secrétaire. Si une même personne ne peut pas cumuler deux rôles ou plus, quel est le nombre de choix possibles ?
  3. Un code PIN à 4 chiffres est formé en alignant quatre chiffres de 0 à 9. Si un même chiffre peut être utilisé autant de fois qu'on veut et que le premier chiffre peut être 0, combien de codes PIN peut-on former ?
  4. Dans une ville dont les rues forment un quadrillage, on va du carrefour A au carrefour B, situé 4 pâtés de maisons à l'est et 3 au nord de A, par un plus court chemin qui ne va que vers l'est ou vers le nord. Quel est le nombre de chemins possibles ?
  5. Sur 200 puces contrôlées, 30 présentaient le défaut X et 20 le défaut Y, dont 8 présentaient à la fois X et Y. Combien de puces ne présentent aucun des deux défauts ?
  6. On lance un dé 3 fois. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité d'obtenir au moins une fois un 6 ?
  7. Parmi 10 billets de loterie, 3 sont gagnants. On tire deux billets l'un après l'autre, sans remettre le billet tiré. Quelle est la probabilité que les deux billets soient gagnants ?
  8. Une usine a traité 500 plaquettes en un mois, dont 100 dans la chambre 2. Au total, 40 plaquettes sont défectueuses, dont 15 avaient été traitées dans la chambre 2. Quelle est la probabilité conditionnelle qu'une plaquette traitée dans la chambre 2 soit défectueuse ?
  9. Dans une population de puces, 1 % présentent un défaut latent. Un test de criblage déclare positives 95 % des puces défectueuses et, à tort, 4 % des puces bonnes. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'une puce déclarée positive soit réellement défectueuse ?
  10. Il y a 1000 billets de loterie à 50 yens l'unité : un billet gagne un lot de 10 000 yens, 10 billets gagnent un lot de 1000 yens, et les autres ne gagnent rien. Quelle est l'espérance du gain par billet ?
  11. La fabrication d'une puce coûte 300 yens. Une puce bonne se vend 500 yens, et une puce défectueuse est invendable et mise au rebut. Si la probabilité qu'une puce soit bonne est de 80 %, quelle est l'espérance du bénéfice par puce fabriquée ?
  12. On range 10 clés dans une table de hachage de 100 compartiments. Chaque clé est affectée indépendamment à l'un des 100 compartiments avec la même probabilité. Quelle est l'espérance du nombre de paires de clés affectées au même compartiment ?
  13. En prenant comme variance la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par le nombre de valeurs, quel est l'écart type des 8 valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ?
  14. On prélève 5 produits d'un procédé dont le taux de défauts est de 20 %. Le fait que chaque produit soit défectueux est indépendant des autres. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'exactement un des cinq soit défectueux ?
  15. Les demandes adressées à un centre de services (service desk) arrivent au hasard, indépendamment les unes des autres, à raison de 3 par heure en moyenne, et le nombre de demandes reçues en une heure suit une loi de Poisson. En prenant e⁻³ ≈ 0,0498, quelle valeur est la plus proche de la probabilité de recevoir exactement 2 demandes au cours d'une heure donnée ?
  16. Des requêtes parviennent à un serveur selon des arrivées poissoniennes (arrivées aléatoires et indépendantes), à raison de 6 par minute en moyenne. Quelle combinaison de la loi suivie par les intervalles entre arrivées et de leur moyenne est appropriée ?
  17. Le temps jusqu'à la défaillance d'un équipement suit une loi exponentielle de moyenne 1000 heures. On prend e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 et e^(−1,5) ≈ 0,22. Sachant que l'équipement a fonctionné 500 heures sans défaillance, quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 1000 heures sans défaillance ?
  18. On arrive à un arrêt desservi par un bus toutes les 10 minutes à un instant quelconque, sans consulter les horaires. Le temps d'attente suit une loi uniforme entre 0 et 10 minutes. Quelle combinaison de l'espérance du temps d'attente et de la probabilité que l'attente soit de 3 minutes ou moins est correcte ?
  19. La cote d'une pièce suit une loi normale de moyenne 50,0 mm et d'écart type 0,1 mm. Quelle valeur est la plus proche de la proportion de pièces dont la cote est comprise entre 49,7 mm et 50,3 mm ?
  20. A a obtenu 80 points à l'examen X et B 75 points à l'examen Y. L'examen X avait une moyenne de 65 points et un écart type de 10 points, et l'examen Y une moyenne de 60 points et un écart type de 6 points. Quelle explication compare correctement leurs positions relatives au sein de leur propre examen à l'aide de la valeur centrée réduite z = (note − moyenne) ÷ écart type ?
  21. Le retard d'un chemin d'un circuit varie d'une puce à l'autre selon une loi normale de moyenne 940 ps et d'écart type 30 ps. En prenant environ 95,4 % pour la proportion d'une loi normale comprise dans l'intervalle moyenne ±2σ, quelle valeur est la plus proche de la proportion de puces dont le retard dépasse la période d'horloge de 1000 ps ?
  22. On a mesuré 5 fois le temps de réponse d'un serveur et obtenu, dans l'ordre des mesures, 20, 3, 5, 3 et 4 millisecondes. Quelle est la médiane de ces données ?
  23. Les 11 valeurs 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 20 sont représentées par une boîte à moustaches. Le premier et le troisième quartile sont pris comme les médianes de la moitié inférieure et de la moitié supérieure des données, médiane exclue. Quel est l'écart interquartile, qui correspond à la longueur de la boîte ?
  24. Quelle description du coefficient de corrélation de deux grandeurs est appropriée ?
  25. Quelle valeur est la plus proche du coefficient de corrélation des cinq couples de données (x, y) = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) ?
  26. Deux grandeurs x et y ont un coefficient de corrélation de 0,8 ; l'écart type de x vaut 5 et celui de y vaut 10. Quelle est la pente de la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés pour prédire y à partir de x ?
  27. On tire au hasard un échantillon de taille 36 dans une population d'écart type 12. Quelle est l'erreur type de la moyenne d'échantillon (l'écart type qui décrit la dispersion de la moyenne d'échantillon) ?
  28. Quelle description du sens d'un intervalle de confiance à 95 % de la moyenne de la population, obtenu à partir d'un échantillon, est appropriée ?
  29. On sait que l'écart type d'une population vaut 10. Un échantillon de taille 100 tiré de cette population a une moyenne de 50,0. En prenant 1,96 comme valeur bilatérale à 95 % de la loi normale centrée réduite, quel est l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne de la population ?
  30. Quelle description du sens de la valeur p obtenue dans un test d'hypothèse est appropriée ?
  31. On vérifie à l'aide d'un échantillon prélevé si un lot de produits respecte sa spécification. Si l'hypothèse nulle est « ce lot respecte la spécification », quel cas constitue une erreur de première espèce ?
  32. Un guichet reçoit en moyenne 12 demandes par heure, et chacune demande en moyenne 4 minutes de traitement. En le considérant comme une file M/M/1, quel est le taux d'utilisation du guichet ?
  33. Un serveur reçoit en moyenne 3 requêtes par minute, et chacune demande en moyenne 15 secondes de traitement. En considérant le serveur comme une file M/M/1, quel est le temps moyen entre l'arrivée d'une requête et la fin de son traitement (temps de réponse moyen) ?
  34. Un serveur web contient en moyenne 12 requêtes, en comptant celles en cours de traitement et celles en attente. Les requêtes arrivent à raison de 40 par seconde et sont traitées au même rythme (régime stationnaire). D'après la loi de Little, quel est le temps moyen qu'une requête passe dans le serveur ?
  35. Pour un serveur assimilable à une file M/M/1, le taux d'arrivée a augmenté sans changement du temps de service moyen, et le taux d'utilisation est passé de 0,8 à 0,9. Par combien le temps d'attente moyen Wq (le temps passé à attendre dans la file) a-t-il été multiplié ? Quelle valeur est la plus proche ?
  36. Il y a deux guichets de même vitesse. Dans le système A, chaque client choisit à son arrivée l'un des guichets avec la même probabilité et rejoint la file propre à ce guichet. Dans le système B, les clients forment une seule file et sont servis par le premier guichet qui se libère. Les arrivées sont aléatoires, et le taux d'arrivée total comme la vitesse de traitement sont les mêmes dans les deux systèmes. Quelle comparaison des temps d'attente moyens est appropriée ?
  37. Un serveur dont le temps de service moyen est de 0,2 seconde est considéré comme une file M/M/1. Pour maintenir le temps de réponse moyen (temps d'attente plus temps de traitement) à 1,0 seconde au plus, quelle valeur est la plus proche du taux d'arrivée maximal acceptable ?
  38. Dans un contrôle par échantillonnage, on prélève au hasard 10 articles d'un grand lot dont le taux de défauts est de 5 %, et le lot est accepté si aucun n'est défectueux. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité que ce lot soit accepté ?
  39. On transmet 10 000 bits de données sur une liaison dont le taux d'erreur binaire est de 1 × 10⁻⁴. Si les erreurs sur chaque bit se produisent indépendamment, quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'au moins un bit soit erroné ?
  40. On transmet 8 bits de données plus un bit de parité paire, soit 9 bits au total. Si chaque bit est erroné indépendamment avec une probabilité de 1 %, quelle valeur est la plus proche de la probabilité d'une erreur que le contrôle de parité ne peut pas détecter ?

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