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Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen

Permutationen und Kombinationen, das Inklusions-Exklusions-Prinzip, Gegenereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeit, der Satz von Bayes, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, Binomial-, Poisson-, Gleich-, Normal- und Exponentialverteilung, Median, Quartile und Boxplots, Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade, Standardfehler und Konfidenzintervalle, Hypothesentests und p-Werte, Warteschlangen (M/M/1) und das Little'sche Gesetz sowie die Wahrscheinlichkeiten von Bitfehlern und Stichprobenprüfungen, erarbeitet mit Multiple-Choice-Fragen, überwiegend Rechenaufgaben.

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Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen: Kernpunkte

„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einmal eintritt?“ „Wie wahrscheinlich ist ein als positiv eingestuftes Teil wirklich defekt?“ „Um wie viel länger wird die Wartezeit, wenn die Auslastung eines Servers von 80 % auf 90 % steigt?“ Fragen wie diese beantworten Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. In vielen Bereichen der Technik, von Ausbeute und Zuverlässigkeit von Halbleitern über Bitfehler in der Kommunikation und die Leistungsbewertung von Computern bis zum maschinellen Lernen, sind sie das gemeinsame Werkzeug, um Streuung und Unsicherheit mit Zahlen zu erfassen.

Dieses Thema behandelt das Abzählen von Möglichkeiten mit Permutationen und Kombinationen, das Inklusions-Exklusions-Prinzip, Gegenereignisse und Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes, den Erwartungswert und seine Linearität sowie Varianz und Standardabweichung. Danach werden die Eigenschaften der Binomial-, Poisson-, Gleich-, Normal- (68-95-99,7-Regel und Standardisierung) und Exponentialverteilung (Gedächtnislosigkeit) an Rechnungen überprüft. Auf der Seite der Statistik geht es um Median, Quartile und Boxplots, den Korrelationskoeffizienten und die Steigung der Regressionsgeraden, Standardfehler und Konfidenzintervalle sowie p-Werte und Fehler 1. und 2. Art bei Hypothesentests. Im letzten Teil werden Auslastung, mittlere Wartezeit und Antwortzeit mit dem M/M/1-Warteschlangenmodell berechnet, das Little'sche Gesetz und der Einfluss der Anordnung der Warteschlangen behandelt und diese Ideen auf die Wahrscheinlichkeiten von Bitfehlern, Paritätsprüfungen und Stichprobenprüfungen angewendet. Das hilft auch bei der Vorbereitung auf IT-Zertifizierungsprüfungen im Bereich angewandte Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen). Regelkarten und Prozessfähigkeitsindizes werden in „Ausbeute und Qualitätskontrolle“ behandelt, Ausfallraten und die Weibull-Verteilung in „Zuverlässigkeit“, Konfusionsmatrizen und Modelle des maschinellen Lernens in „Grundlagen des maschinellen Lernens“ und die Berechnung der Verfügbarkeit in „Systemarchitektur und Zuverlässigkeit“.

Alle Fragen zu Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen (40)
  1. Aus 8 Personen werden 3 Ausschussmitglieder gewählt. Die Mitglieder haben keine unterschiedlichen Rollen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es?
  2. Aus 5 Personen werden je eine Person als Vorsitz, stellvertretender Vorsitz und Schriftführung gewählt. Niemand darf zwei oder mehr Ämter übernehmen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es?
  3. Eine 4-stellige PIN wird aus vier der Ziffern 0 bis 9 gebildet. Dieselbe Ziffer darf beliebig oft vorkommen, und die erste Ziffer darf 0 sein. Wie viele PINs sind möglich?
  4. In einer Stadt mit schachbrettartigem Straßennetz geht man von Kreuzung A zur Kreuzung B, die 4 Blöcke östlich und 3 Blöcke nördlich liegt, auf einem kürzesten Weg, also nur nach Osten oder Norden. Wie viele Wege gibt es?
  5. Bei der Prüfung von 200 Chips hatten 30 Chips den Defekt X und 20 Chips den Defekt Y; 8 davon hatten sowohl X als auch Y. Wie viele Chips haben keinen der beiden Defekte?
  6. Ein Würfel wird dreimal geworfen. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass mindestens einmal eine 6 fällt?
  7. Unter 10 Losen sind 3 Gewinne. Es werden nacheinander 2 Lose gezogen, ohne das gezogene Los zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Lose gewinnen?
  8. Eine Fabrik bearbeitete in einem Monat 500 Wafer, davon 100 in Kammer 2. Insgesamt 40 Wafer waren defekt, 15 davon stammten aus Kammer 2. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein in Kammer 2 bearbeiteter Wafer defekt ist?
  9. In einer Population von Chips haben 1 % einen latenten Defekt. Ein Screening-Test stuft 95 % der defekten Chips als positiv ein und stuft 4 % der guten Chips fälschlich als positiv ein. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass ein als positiv eingestufter Chip tatsächlich defekt ist?
  10. Es gibt 1000 Lose zu je 50 Yen: 1 Los gewinnt 10.000 Yen, 10 Lose gewinnen je 1000 Yen, die übrigen sind Nieten. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro Los?
  11. Die Herstellung eines Chips kostet 300 Yen. Ein guter Chip wird für 500 Yen verkauft, ein defekter Chip ist unverkäuflich und wird entsorgt. Ein Chip ist mit der Wahrscheinlichkeit 80 % gut. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro hergestelltem Chip?
  12. 10 Schlüssel werden in eine Hashtabelle mit 100 Buckets eingefügt. Jeder Schlüssel wird unabhängig von den anderen mit gleicher Wahrscheinlichkeit einem der 100 Buckets zugeordnet. Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der Schlüsselpaare, die demselben Bucket zugeordnet werden?
  13. Die Varianz wird berechnet, indem man die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert durch die Anzahl der Daten teilt. Wie groß ist die Standardabweichung der 8 Daten 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?
  14. Aus einem Prozess mit einem Fehleranteil von 20 % werden 5 Produkte entnommen. Ob ein Produkt defekt ist, ist von den anderen unabhängig. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass genau 1 der 5 Produkte defekt ist?
  15. Beim Service Desk gehen im Mittel 3 Anfragen pro Stunde ein, unabhängig voneinander und zufällig; die Anzahl der Anfragen pro Stunde folgt einer Poisson-Verteilung. Mit e⁻³ ≈ 0,0498: Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass in einer bestimmten Stunde genau 2 Anfragen eingehen?
  16. Anfragen an einen Server treffen als Poisson-Ankünfte (unabhängige, zufällige Ankünfte) mit im Mittel 6 Anfragen pro Minute ein. Welche Kombination aus der Verteilung der Zwischenankunftszeiten und deren Mittelwert ist zutreffend?
  17. Die Zeit bis zum Ausfall eines Geräts folgt einer Exponentialverteilung mit dem Mittelwert 1000 Stunden. Es gelte e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 und e^(−1,5) ≈ 0,22. Das Gerät hat 500 Stunden ohne Ausfall gearbeitet. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass es von jetzt an mindestens weitere 1000 Stunden nicht ausfällt?
  18. An einer Haltestelle fährt alle 10 Minuten ein Bus. Man kommt ohne Blick auf den Fahrplan zu einem zufälligen Zeitpunkt an, und die Wartezeit ist zwischen 0 und 10 Minuten gleichverteilt. Welche Kombination aus dem Erwartungswert der Wartezeit und der Wahrscheinlichkeit, höchstens 3 Minuten zu warten, ist richtig?
  19. Ein Maß eines Bauteils folgt einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 50,0 mm und der Standardabweichung 0,1 mm. Welcher Wert liegt dem Anteil der Bauteile am nächsten, deren Maß zwischen 49,7 mm und 50,3 mm liegt?
  20. A erreichte in Test X 80 Punkte, B in Test Y 75 Punkte. In Test X betrugen der Mittelwert 65 Punkte und die Standardabweichung 10 Punkte, in Test Y der Mittelwert 60 Punkte und die Standardabweichung 6 Punkte. Welche Aussage ist richtig, wenn man die relative Position innerhalb des jeweiligen Tests mit dem standardisierten Wert z = (Punktzahl − Mittelwert) ÷ Standardabweichung vergleicht?
  21. Die Verzögerung eines Schaltungspfads streut von Chip zu Chip normalverteilt mit dem Mittelwert 940 ps und der Standardabweichung 30 ps. Der Anteil innerhalb von ±2σ um den Mittelwert betrage bei einer Normalverteilung etwa 95,4 %. Welcher Wert liegt dem Anteil der Chips am nächsten, deren Verzögerung die Taktperiode von 1000 ps überschreitet?
  22. Die Antwortzeit eines Servers wurde fünfmal gemessen; in der Reihenfolge der Messung ergaben sich 20, 3, 5, 3 und 4 Millisekunden. Wie groß ist der Median dieser Daten?
  23. Die 11 Daten 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 20 werden als Boxplot dargestellt. Das erste und das dritte Quartil seien jeweils der Median der unteren bzw. oberen Hälfte der Daten ohne den Median. Wie groß ist der Interquartilsabstand, der der Länge der Box entspricht?
  24. Welche Aussage über den Korrelationskoeffizienten zweier Größen trifft zu?
  25. Welcher Wert liegt dem Korrelationskoeffizienten der 5 Datenpaare (x, y) = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) am nächsten?
  26. Der Korrelationskoeffizient zweier Größen x und y beträgt 0,8, die Standardabweichung von x ist 5 und die von y ist 10. Wie groß ist die Steigung der mit der Methode der kleinsten Quadrate bestimmten Regressionsgeraden, die y aus x vorhersagt?
  27. Aus einer Grundgesamtheit mit der Standardabweichung 12 wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang 36 gezogen. Wie groß ist der Standardfehler des Stichprobenmittelwerts (die Standardabweichung, die die Streuung des Stichprobenmittelwerts beschreibt)?
  28. Welche Aussage beschreibt die Bedeutung eines aus einer Stichprobe berechneten 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert der Grundgesamtheit zutreffend?
  29. Die Standardabweichung einer Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 10. Eine Stichprobe vom Umfang 100 aus dieser Grundgesamtheit hat den Mittelwert 50,0. Der Wert der Standardnormalverteilung für beidseitig 95 % sei 1,96. Wie lautet das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit?
  30. Welche Aussage beschreibt die Bedeutung des p-Werts eines Hypothesentests zutreffend?
  31. Ob ein Produktionslos die Spezifikation erfüllt, wird anhand einer entnommenen Stichprobe getestet. Die Nullhypothese lautet „dieses Los erfüllt die Spezifikation“. Was ist in diesem Fall ein Fehler 1. Art?
  32. An einem Schalter treffen im Mittel 12 Aufträge pro Stunde ein, und die Bearbeitung eines Auftrags dauert im Mittel 4 Minuten. Wie hoch ist die Auslastung des Schalters, wenn man ihn als M/M/1-Warteschlange betrachtet?
  33. Bei einem Server treffen im Mittel 3 Anfragen pro Minute ein, und die Bearbeitung einer Anfrage dauert im Mittel 15 Sekunden. Der Server wird als M/M/1-Warteschlange betrachtet. Wie lang ist die mittlere Zeit vom Eintreffen einer Anfrage bis zum Ende ihrer Bearbeitung (mittlere Antwortzeit)?
  34. In einem Webserver befinden sich im Mittel 12 Anfragen, in Bearbeitung und wartend zusammen. Anfragen treffen mit 40 pro Sekunde ein und werden mit derselben Rate bearbeitet (stationärer Zustand). Wie lange hält sich eine Anfrage nach dem Little'schen Gesetz im Mittel im Server auf?
  35. Bei einem Server, der sich als M/M/1-Warteschlange betrachten lässt, steigt die Ankunftsrate bei unveränderter mittlerer Bedienzeit, sodass die Auslastung von 0,8 auf 0,9 zunimmt. Um welchen Faktor ändert sich die mittlere Wartezeit Wq (die Zeit des Wartens in der Warteschlange)? Welcher Wert liegt am nächsten?
  36. Es gibt zwei gleich schnelle Schalter. Bei Verfahren A wählt jede ankommende Person mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen der beiden Schalter und stellt sich in dessen eigene Schlange. Bei Verfahren B stellen sich alle in eine gemeinsame Schlange und werden am jeweils nächsten frei werdenden Schalter bedient. Die Ankünfte sind zufällig, die gesamte Ankunftsrate und die Bediengeschwindigkeit sind in beiden Fällen gleich. Welcher Vergleich der mittleren Wartezeiten trifft zu?
  37. Ein Server mit einer mittleren Bedienzeit von 0,2 Sekunden wird als M/M/1-Warteschlange betrachtet. Die mittlere Antwortzeit (Summe aus Wartezeit und Bearbeitungszeit) soll höchstens 1,0 Sekunden betragen. Welcher Wert liegt der höchsten zulässigen Ankunftsrate am nächsten?
  38. Aus einem großen Los mit einem Fehleranteil von 5 % werden 10 Teile zufällig entnommen; das Los wird angenommen, wenn kein Teil defekt ist (Stichprobenprüfung). Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass dieses Los angenommen wird?
  39. Über einen Kanal mit einer Bitfehlerrate von 1 × 10⁻⁴ werden 10.000 Bit Daten gesendet. Die Bitfehler treten unabhängig voneinander auf. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass mindestens ein Bit fehlerhaft ist?
  40. Zu 8 Datenbits wird ein gerades Paritätsbit hinzugefügt, und die 9 Bit werden gesendet. Jedes Bit ist unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 1 % fehlerhaft. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass ein Fehler auftritt, den die Paritätsprüfung nicht erkennen kann?

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