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Probabilités, statistiques et files d'attente

Il y a deux guichets de même vitesse. Dans le système A, chaque client choisit à son arrivée l'un des guichets avec la même probabilité et rejoint la file propre à ce guichet. Dans le système B, les clients forment une seule file et sont servis par le premier guichet qui se libère. Les arrivées sont aléatoires, et le taux d'arrivée total comme la vitesse de traitement sont les mêmes dans les deux systèmes. Quelle comparaison des temps d'attente moyens est appropriée ?

  1. ALe système A est plus rapide, car la file est divisée en deux et le taux d'arrivée par file est réduit de moitié
  2. BLe système B est plus rapide, car dans le système A un guichet peut être libre alors qu'une file attend devant l'autre
  3. CLes deux sont équivalents, car à nombre de guichets et vitesse de traitement égaux, le temps d'attente moyen ne dépend pas de l'organisation des files
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Réponse : B. Le système B est plus rapide, car dans le système A un guichet peut être libre alors qu'une file attend devant l'autre

Le système A peut être vu comme deux files M/M/1 côte à côte, chacune avec la moitié du taux d'arrivée. Le système B est une file M/M/2 dans laquelle deux guichets partagent une seule file : un client est servi sans attendre dès que l'un des guichets est libre. Par exemple, avec un temps de service moyen de 1 minute et un taux d'arrivée total de 1 par minute (taux d'utilisation de 0,5), le temps d'attente moyen vaut 0,5/(1 − 0,5) × 1 = 1 minute dans le système A, mais environ 0,33 minute dans le système B. C'est pourquoi une file unique partagée par plusieurs guichets est très répandue, par exemple aux guichets des banques ou dans le traitement par les serveurs.

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