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Probabilités, statistiques et files d'attente

On range 10 clés dans une table de hachage de 100 compartiments. Chaque clé est affectée indépendamment à l'un des 100 compartiments avec la même probabilité. Quelle est l'espérance du nombre de paires de clés affectées au même compartiment ?

  1. A0,1
  2. B0,45
  3. C0,9
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Réponse : B. 0,45

Il y a 10C2 = 45 paires de clés, et chaque paire tombe dans le même compartiment avec une probabilité de 1/100. Par la linéarité de l'espérance (l'espérance d'une somme est la somme des espérances), l'espérance du nombre de paires dans un même compartiment vaut 45 × 1/100 = 0,45. La linéarité de l'espérance est vraie même si les paires ne sont pas indépendantes : il suffit d'additionner les probabilités de chaque paire.

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