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확률·통계와 대기행렬

순열과 조합, 포함 배제 원리, 여사건과 조건부 확률, 베이즈 정리, 기댓값과 분산·표준 편차, 이항 분포·푸아송 분포·균일 분포·정규 분포·지수 분포, 중앙값과 사분위수·상자 수염 그림, 상관 계수와 회귀 직선, 표준 오차와 신뢰 구간, 가설 검정과 p값, 대기행렬(M/M/1)과 리틀의 법칙, 비트 오류나 발췌 검사의 확률을 계산 문제를 중심으로 한 객관식 문제로 학습합니다.

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확률·통계와 대기행렬: 핵심 정리

'적어도 1번 일어날 확률은?' '양성으로 판정된 것이 정말로 불량일 확률은?' '서버의 사용률이 80%에서 90%가 되면 대기 시간은 얼마나 늘어날까?' 이런 물음에 답하는 것이 확률과 통계입니다. 반도체의 수율이나 신뢰성, 통신의 비트 오류, 컴퓨터의 성능 평가, 머신러닝 등 공학의 다양한 분야에서, 흩어짐이나 불확실성을 수로 다루기 위한 공통의 도구가 되고 있습니다.

여기서는 순열과 조합에 의한 경우의 수 세는 법, 포함 배제 원리, 여사건과 독립, 조건부 확률과 베이즈 정리, 기댓값과 그 선형성, 분산과 표준 편차를 학습합니다. 이어서 이항 분포, 푸아송 분포, 균일 분포, 정규 분포(68-95-99.7 규칙과 표준화), 지수 분포(무기억성)의 성질을 계산을 통해 확인합니다. 통계에서는 중앙값이나 사분위수와 상자 수염 그림, 상관 계수와 회귀 직선의 기울기, 표준 오차와 신뢰 구간, 가설 검정의 p값과 제1종·제2종 오류를 다룹니다. 후반에서는 대기행렬의 M/M/1 모델에 의한 사용률·평균 대기 시간·응답 시간의 계산과 리틀의 법칙, 행렬을 만드는 방법에 따른 차이를 학습하고, 비트 오류, 패리티, 발췌 검사의 확률 계산에 응용합니다. IT 자격시험의 응용 수학(확률·통계, 대기행렬) 학습에도 도움이 됩니다. 관리도나 공정 능력 지수는 '수율과 품질 관리', 고장률이나 와이블 분포는 '신뢰성', 혼동 행렬이나 머신러닝 모델은 '머신러닝의 기초', 가동률 계산은 '시스템 구성과 신뢰성 설계' 분야에서 다룹니다.

확률·통계와 대기행렬 전체 문제 (40)
  1. 8명의 멤버 중에서 3명의 위원을 뽑는다. 위원 사이에 역할의 구별이 없을 때, 뽑는 방법의 수는?
  2. 5명 중에서 의장, 부의장, 서기를 1명씩 뽑는다. 1명이 2개 이상의 역할을 겸할 수 없을 때, 뽑는 방법의 수는?
  3. 0~9의 숫자 4개를 늘어놓아 만드는 4자리 비밀번호에서, 같은 숫자를 몇 번 사용해도 되고 맨 앞자리가 0이어도 될 때, 만들 수 있는 비밀번호의 수는?
  4. 바둑판 눈금처럼 길이 나 있는 마을에서, 교차로 A에서 동쪽으로 4블록, 북쪽으로 3블록 떨어진 교차로 B까지, 동쪽이나 북쪽으로만 나아가 최단 경로로 간다. 경로의 수는?
  5. 200개의 칩을 검사했더니 결함 X가 있는 칩이 30개, 결함 Y가 있는 칩이 20개였고, 그중 X와 Y가 둘 다 있는 칩이 8개였다. X와 Y 어느 결함도 없는 칩의 수는?
  6. 주사위를 3번 던질 때, 6의 눈이 적어도 1번 나올 확률에 가장 가까운 것은?
  7. 10개의 제비 중에 당첨이 3개 있다. 1개씩 연속으로 2개를 뽑고, 뽑은 제비는 되돌려 놓지 않는다. 2개 모두 당첨일 확률은?
  8. 어떤 공장에서 1개월에 500장의 웨이퍼를 처리했고, 그중 100장은 챔버 2에서 처리되었다. 불량이 된 웨이퍼는 모두 40장이었고, 그중 15장이 챔버 2에서 처리된 것이었다. 챔버 2에서 처리된 웨이퍼가 불량이 될 조건부 확률은?
  9. 어떤 칩 집단에서는 잠재적인 불량을 가진 칩의 비율이 1%이다. 스크리닝 검사는 불량 칩의 95%를 양성으로 판정하고, 양품 칩의 4%를 잘못 양성으로 판정한다. 양성으로 판정된 칩이 실제로 불량일 확률에 가장 가까운 것은?
  10. 1장에 50엔인 복권이 1,000장 있고, 10,000엔 당첨이 1장, 1,000엔 당첨이 10장이며, 나머지는 꽝이다. 복권 1장당 상금의 기댓값은?
  11. 1개를 제조하는 데 300엔이 드는 칩을 만든다. 양품은 1개 500엔에 팔리고, 불량품은 팔리지 않아 버린다. 양품이 될 확률이 80%일 때, 제조한 칩 1개당 이익의 기댓값은?
  12. 10개의 키를 100개의 버킷을 가진 해시 테이블에 넣는다. 각 키는 각각 독립적으로 100개의 버킷 중 어느 하나에 같은 확률로 배정된다고 한다. 2개의 키로 이루어진 쌍 중에서 같은 버킷에 배정되는 쌍의 수의 기댓값은?
  13. 분산을, 평균과의 차의 제곱의 합을 데이터의 개수로 나누어 구하는 것으로 한다. 8개의 데이터 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9의 표준 편차는?
  14. 불량률이 20%인 공정에서 제품을 5개 꺼낸다. 각 제품이 불량인지 아닌지는 서로 독립이라고 한다. 5개 중 정확히 1개가 불량일 확률에 가장 가까운 것은?
  15. 서비스 데스크에 대한 문의가 1시간당 평균 3건, 서로 독립적으로 무작위로 도착하며, 1시간에 도착하는 건수는 푸아송 분포를 따른다고 한다. e⁻³ ≈ 0.0498이라고 할 때, 어떤 1시간에 정확히 2건 도착할 확률에 가장 가까운 것은?
  16. 서버에 대한 요청이 1분당 평균 6건의 푸아송 도착(서로 독립적인 무작위 도착)으로 도착한다. 도착 간격이 따르는 분포와 그 평균의 조합으로 적절한 것은?
  17. 어떤 장치의 고장까지의 시간은 평균 1,000시간인 지수 분포를 따른다. e^(−0.5) ≈ 0.61, e^(−1) ≈ 0.37, e^(−1.5) ≈ 0.22라고 한다. 이 장치가 500시간 고장 없이 작동하고 있을 때, 여기서부터 다시 1,000시간 이상 고장 나지 않을 확률에 가장 가까운 것은?
  18. 10분 간격으로 버스가 오는 정류장에, 시간표를 보지 않고 아무 시각에나 도착한다. 대기 시간은 0분부터 10분까지의 균일 분포를 따른다고 한다. 대기 시간의 기댓값과, 대기 시간이 3분 이하가 될 확률의 조합으로 올바른 것은?
  19. 어떤 부품의 치수는 평균 50.0 mm, 표준 편차 0.1 mm인 정규 분포를 따른다. 치수가 49.7 mm에서 50.3 mm까지의 범위에 들어가는 부품의 비율에 가장 가까운 것은?
  20. A는 시험 X에서 80점, B는 시험 Y에서 75점을 받았다. 시험 X의 평균은 65점, 표준 편차는 10점이고, 시험 Y의 평균은 60점, 표준 편차는 6점이었다. 각 시험 안에서의 상대적인 위치를, 표준화한 값 z = (점수 − 평균) ÷ 표준 편차로 비교했을 때의 설명으로 올바른 것은?
  21. 어떤 회로 경로의 지연이 칩마다 평균 940 ps, 표준 편차 30 ps인 정규 분포를 따라 흩어진다. 정규 분포에서 평균 ±2σ의 범위에 들어가는 비율을 약 95.4%라고 할 때, 지연이 클록 주기 1,000 ps를 넘어 버리는 칩의 비율에 가장 가까운 것은?
  22. 어떤 서버의 응답 시간을 5번 측정했더니, 측정한 순서대로 20, 3, 5, 3, 4밀리초였다. 이 데이터의 중앙값은?
  23. 11개의 데이터 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 20을 상자 수염 그림으로 나타낸다. 제1사분위수와 제3사분위수는 중앙값을 제외한 전반과 후반 데이터 각각의 중앙값으로 한다. 상자의 길이에 해당하는 사분위수 범위는?
  24. 두 양의 상관 계수에 대한 설명으로 적절한 것은?
  25. 5쌍의 데이터 (x, y) = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5)의 상관 계수에 가장 가까운 것은?
  26. 두 양 x, y의 상관 계수가 0.8, x의 표준 편차가 5, y의 표준 편차가 10이다. 최소 제곱법으로 구한, y를 x로부터 예측하는 회귀 직선의 기울기는?
  27. 표준 편차가 12인 모집단에서 크기 36의 표본을 무작위로 추출한다. 표본 평균의 표준 오차(표본 평균의 흩어짐을 나타내는 표준 편차)는?
  28. 표본으로부터 구한 모평균의 95% 신뢰 구간의 의미로 적절한 것은?
  29. 모집단의 표준 편차가 10이라는 것을 알고 있다. 이 모집단에서 크기 100의 표본을 추출했더니 표본 평균은 50.0이었다. 표준 정규 분포에서 양쪽 95%에 해당하는 값을 1.96이라고 할 때, 모평균의 95% 신뢰 구간은?
  30. 가설 검정에서 얻어지는 p값의 의미로 적절한 것은?
  31. 제품 로트가 규격을 만족하는지를, 발췌한 샘플로 검정한다. 귀무가설을 '이 로트는 규격을 만족한다'로 할 때, 제1종 오류에 해당하는 것은?
  32. 1시간당 평균 12건의 의뢰가 도착하고, 1건의 처리에 평균 4분이 걸리는 창구가 있다. M/M/1 대기행렬로 볼 때, 창구의 사용률은?
  33. 1분당 평균 3건의 요청이 도착하고, 1건의 처리에 평균 15초가 걸리는 서버를 M/M/1 대기행렬로 본다. 요청이 도착하고 나서 처리가 끝날 때까지의 평균 시간(평균 응답 시간)은?
  34. 어떤 웹 서버 안에는 처리 중인 것과 대기 중인 것을 합해 평균 12건의 요청이 있다. 요청은 초당 40건의 비율로 도착하고, 같은 비율로 처리되고 있다(정상 상태). 리틀의 법칙으로 구한, 1건의 요청이 서버 안에 머무는 평균 시간은?
  35. M/M/1 대기행렬로 볼 수 있는 서버에서, 평균 서비스 시간은 그대로인 채 도착률이 늘어나 사용률이 0.8에서 0.9로 올라갔다. 평균 대기 시간 Wq(행렬에서 기다리는 시간)는 몇 배가 되는가? 가장 가까운 것은?
  36. 같은 속도의 창구가 2개 있다. 방식 A에서는 이용자가 도착했을 때 어느 한 창구를 같은 확률로 골라, 창구별 행렬에 줄을 선다. 방식 B에서는 이용자가 1개의 행렬에 줄을 서고, 비는 창구부터 차례로 처리를 받는다. 도착은 무작위이며, 전체 도착률과 처리 속도는 둘 다 같다고 한다. 평균 대기 시간의 비교로 적절한 것은?
  37. 평균 서비스 시간이 0.2초인 서버를 M/M/1 대기행렬로 본다. 평균 응답 시간(대기 시간과 처리 시간의 합계)을 1.0초 이하로 억제할 때, 받아들일 수 있는 도착률의 상한에 가장 가까운 것은?
  38. 불량률이 5%인 큰 로트에서 10개를 무작위로 발췌하여, 불량품이 1개도 없으면 로트를 합격으로 하는 발췌 검사를 한다. 이 로트가 합격이 될 확률에 가장 가까운 것은?
  39. 비트 오류율이 1 × 10⁻⁴인 전송로로 10,000비트의 데이터를 보낸다. 각 비트의 오류가 서로 독립적으로 일어날 때, 적어도 1비트가 잘못될 확률에 가장 가까운 것은?
  40. 8비트 데이터에 짝수 패리티 비트를 1개 붙인, 합해서 9비트를 보낸다. 각 비트가 서로 독립적으로 1%의 확률로 잘못될 때, 패리티 검사로 검출할 수 없는 오류가 일어날 확률에 가장 가까운 것은?

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