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Bases du traitement numérique du signal

Apprenez avec des QCM la fréquence normalisée et la période des sinusoïdes à temps discret, l'impulsion unité et l'échelon unité, l'énergie et la puissance, la linéarité, l'invariance dans le temps, la causalité et la stabilité BIBO, la réponse impulsionnelle et la convolution, les équations aux différences, la résolution fréquentielle et les bins de la DFT, la charge de calcul de la FFT, le remplissage par des zéros, la fuite spectrale et les fonctions de fenêtrage, le théorème de Parseval, la transformée en z avec les pôles et les zéros, les filtres FIR et IIR, la phase linéaire et le retard de groupe, la moyenne mobile, la transformation bilinéaire, la quantification des coefficients, la décimation et l'interpolation, ainsi que le nombre de multiplications-accumulations et le traitement en temps réel.

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Bases du traitement numérique du signal : points clés

Une fois qu'un convertisseur A/N a transformé un signal en une suite de nombres, des processeurs et des FPGA le filtrent, analysent son contenu fréquentiel et changent sa fréquence d'échantillonnage. Le traitement numérique du signal fonctionne dans presque tous les produits électroniques, de l'audio et des communications aux capteurs, à la commande des moteurs et aux instruments de mesure.

Ce thème commence par la fréquence normalisée et la période des signaux à temps discret, l'impulsion unité et l'échelon unité, l'énergie et la puissance, puis traite des propriétés des systèmes linéaires invariants dans le temps (linéarité, invariance dans le temps, causalité et stabilité BIBO), de la réponse impulsionnelle et de la convolution, ainsi que du calcul avec les équations aux différences. Il vérifie ensuite l'espacement et les indices des bins de la DFT, la symétrie des spectres des signaux réels, la charge de calcul de la FFT, le remplissage par des zéros, la fuite spectrale et les fonctions de fenêtrage, le théorème de Parseval, les fonctions de transfert avec leurs pôles et leurs zéros au moyen de la transformée en z, les filtres FIR et IIR, la phase linéaire et le retard de groupe, la moyenne mobile et le lissage exponentiel, la transformation bilinéaire, la quantification des coefficients, la décimation et l'interpolation, ainsi que l'estimation du nombre de multiplications-accumulations et du budget de temps du traitement en temps réel. Les valeurs des questions de calcul, y compris celles des choix erronés, ont été vérifiées par calcul en Python (NumPy). Le théorème d'échantillonnage, le repliement de spectre, le bruit de quantification, le suréchantillonnage et les ADC delta-sigma sont traités dans « Conversion A/N et N/A », les filtres analogiques et les amplificateurs opérationnels dans « Circuits analogiques et électroniques », l'OFDM dans « Bases des communications sans fil », la convolution des CNN dans « Bases de l'apprentissage automatique », et la représentation en virgule fixe dans « Arithmétique des ordinateurs ».

Toutes les questions sur Bases du traitement numérique du signal (40)
  1. Une sinusoïde de 6 kHz est échantillonnée à une fréquence d'échantillonnage de 48 kHz. Quelle est la pulsation normalisée ω (l'avance de phase par échantillon) du signal à temps discret obtenu ?
  2. Quelle est la période fondamentale (le plus petit entier positif N tel que x[n + N] = x[n] pour tout entier n) du signal à temps discret x[n] = cos(0,3πn) ?
  3. Quel signal prend la même valeur que le signal à temps discret x[n] = cos(1,75πn) pour tout entier n ?
  4. Quelle relation entre l'impulsion unité δ[n] (1 pour n = 0, 0 ailleurs) et l'échelon unité u[n] (1 pour n ≥ 0, 0 pour n < 0) est correcte ?
  5. Quelle est l'énergie E = Σ|x[n]|² de x[n] = (0,5)ⁿu[n] (0,5 puissance n pour n ≥ 0, 0 pour n < 0) ?
  6. Quelle est la puissance moyenne (la moyenne de |x[n]|² sur une période) de x[n] = 2cos(πn/4) ?
  7. Parmi les systèmes suivants, d'entrée x[n] et de sortie y[n], lequel est à la fois linéaire et invariant dans le temps (LTI) ?
  8. Quelle description du système y[n] = n·x[n] est correcte ?
  9. Parmi les systèmes suivants, d'entrée x[n] et de sortie y[n], lequel est causal (sa sortie ne dépend que des entrées jusqu'à l'instant présent) ?
  10. Soit u[n] l'échelon unité. Parmi les systèmes LTI suivants, donnés par leur réponse impulsionnelle, lequel est stable au sens BIBO (toute entrée bornée donne une sortie bornée) ?
  11. La suite x[n] = {1, 2, 3} (n = 0, 1, 2) est appliquée à un système LTI de réponse impulsionnelle h[n] = {1, −1} (n = 0, 1). Quelles sont les sorties y[0] à y[3] ?
  12. Un échelon unité (x[n] = 1 pour n ≥ 0) est appliqué à partir de n = 0 au système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1]. Avec y[−1] = 0, quelle est la valeur de y[2] ?
  13. Un signal échantillonné à 48 kHz est analysé par une transformée de Fourier discrète (DFT) sur 1024 points. Quel est l'espacement des bins de fréquence ?
  14. Soit k = 0 le bin de la composante continue. Lorsqu'une sinusoïde de 1 kHz échantillonnée à 8 kHz est analysée par une DFT sur 256 points, quel est l'indice k du bin où apparaît le pic du côté des fréquences positives ?
  15. La DFT sur 64 points d'un signal réel x[n] donne X[10] = 3 + 4j. Quelle est la valeur de X[54] ?
  16. La DFT du signal réel à 8 points x[n] = {3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1} est définie par X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/8). Quelle est la valeur de X[4], le bin situé à la fréquence de Nyquist ?
  17. On suppose qu'une DFT sur N points demande environ N² opérations lorsqu'elle est calculée d'après sa définition, et environ N log₂N opérations avec la FFT (transformée de Fourier rapide). Pour N = 1024, quelle valeur est la plus proche de la réduction du nombre d'opérations obtenue par la FFT ?
  18. Un signal de 256 points est suivi de 768 zéros (remplissage par des zéros, ou zero padding), puis on calcule une DFT sur 1024 points. Par rapport au calcul de la DFT sur les 256 points tels quels, quelle affirmation est correcte ?
  19. Quelle est la cause principale de la fuite spectrale dans une DFT ?
  20. Quelle comparaison entre la fenêtre rectangulaire (aucune pondération appliquée) et la fenêtre de Hann (fenêtre de Hanning), en tant que fonction de fenêtrage appliquée avant une DFT, est correcte ?
  21. On suppose le nombre de points N suffisamment grand. Dans une DFT avec fenêtre rectangulaire, une sinusoïde se trouve exactement à mi-chemin entre deux bins voisins. Quelle valeur est la plus proche de la baisse de l'amplitude lue au bin le plus proche, par rapport à une sinusoïde située exactement au centre d'un bin ?
  22. La DFT du signal à 4 points x[n] = {1, −1, 2, 0} est définie par X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/4). Quelle est la valeur de Σ|X[k]|² (k = 0 à 3) ?
  23. Lorsqu'on obtient la réponse en fréquence d'un système LTI à temps discret à partir de sa fonction de transfert H(z), le long de quoi fait-on varier z ?
  24. Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?
  25. Quelle combinaison des pôles et de la stabilité du système causal de fonction de transfert H(z) = 1/(1 − 1,3z⁻¹ + 0,4z⁻²) est correcte ?
  26. Un filtre FIR de fonction de transfert H(z) = 1 + z⁻² (y[n] = x[n] + x[n − 2]) fonctionne à une fréquence d'échantillonnage de 8 kHz. Quelle est la fréquence d'une entrée sinusoïdale pour laquelle la sortie est nulle ?
  27. Quelle combinaison des modules du gain en continu et à la fréquence de Nyquist du filtre y[n] = x[n] − x[n − 1] (la différence avec l'entrée précédente) est correcte ?
  28. Quelle est une caractéristique d'un filtre FIR (filtre à réponse impulsionnelle finie) ?
  29. Parmi les filtres FIR à 5 prises suivants, lequel a une phase linéaire ?
  30. Quel est le retard de groupe d'un filtre FIR à phase linéaire de 101 prises (à coefficients symétriques) ?
  31. À une fréquence d'échantillonnage de 8 kHz, un filtre à moyenne mobile y[n] = (x[n] + x[n − 1] + … + x[n − 7])/8 calcule la moyenne des 8 derniers échantillons. Quelle est la fréquence la plus basse à laquelle sa sortie est nulle ?
  32. Quelle combinaison des gains en continu et à la fréquence de Nyquist du filtre IIR passe-bas du premier ordre donné par le lissage exponentiel y[n] = 0,2x[n] + 0,8y[n − 1] est correcte ?
  33. Quelle description de la transformation bilinéaire, utilisée pour concevoir un filtre numérique à partir de la fonction de transfert H(s) d'un filtre analogique, est correcte ?
  34. Quelle précaution est correcte lorsqu'on réalise un filtre IIR d'ordre élevé en virgule fixe avec des coefficients de largeur en bits limitée ?
  35. Un signal échantillonné à 48 kHz est ramené à 12 kHz en ne gardant qu'un échantillon sur quatre (décimation d'un facteur 4). Quelles composantes fréquentielles le filtre passe-bas placé avant le sous-échantillonnage doit-il supprimer ?
  36. Pour multiplier la fréquence d'échantillonnage par L, on insère L − 1 zéros entre deux échantillons successifs (insertion de zéros). Quelle description du traitement nécessaire ensuite est correcte ?
  37. Pour convertir la fréquence d'échantillonnage de 44,1 kHz à 48 kHz, on combine un sur-échantillonnage d'un facteur L et un sous-échantillonnage d'un facteur 1/M. Quel est le plus petit couple d'entiers (L, M) ?
  38. Un filtre FIR à 256 prises fonctionne en temps réel à une fréquence d'échantillonnage de 44,1 kHz. Combien de multiplications-accumulations (MAC) sont nécessaires par seconde ?
  39. La sortie d'un filtre FIR est calculée pour chaque échantillon à une fréquence d'échantillonnage de 48 kHz, sur un processeur cadencé à 200 MHz qui effectue une multiplication-accumulation par cycle. En négligeant le temps des autres traitements, quelle valeur est la plus proche du nombre maximal de prises traitables en temps réel ?
  40. Dans le calcul d'un filtre FIR, les produits des données et des coefficients en virgule fixe sur 16 bits sont représentés sur 32 bits, et 256 de ces produits sont additionnés. Quelle est la largeur minimale de l'accumulateur qui garantit l'absence de dépassement de capacité pendant le calcul ?

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