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Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Normierte Frequenz und Periode zeitdiskreter Sinussignale, Einheitsimpuls und Einheitssprung, Energie und Leistung, Linearität, Zeitinvarianz, Kausalität und BIBO-Stabilität, Impulsantwort und Faltung, Differenzengleichungen, Frequenzauflösung und Bins der DFT, Rechenaufwand der FFT, Zero-Padding, Leck-Effekt und Fensterfunktionen, Satz von Parseval, z-Transformation mit Polen und Nullstellen, FIR- und IIR-Filter, linearer Phasengang und Gruppenlaufzeit, gleitender Mittelwert, bilineare Transformation, Koeffizientenquantisierung, Dezimation und Interpolation sowie Zahl der Multiply-Accumulate-Operationen und Echtzeitverarbeitung, erarbeitet mit Multiple-Choice-Fragen.

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Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung: Kernpunkte

Hat ein A/D-Wandler ein Signal in eine Zahlenfolge umgesetzt, wird es auf Prozessoren oder FPGAs gefiltert, auf seine Frequenzanteile untersucht oder auf eine andere Abtastfrequenz umgerechnet. Ob Audio, Kommunikation, Sensorik, Motorsteuerung oder Messgeräte: Digitale Signalverarbeitung arbeitet in fast jedem elektronischen Gerät.

Das Thema beginnt mit der normierten Frequenz und der Periode zeitdiskreter Signale, Einheitsimpuls und Einheitssprung sowie Energie und Leistung und behandelt dann die Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme (Linearität, Zeitinvarianz, Kausalität und BIBO-Stabilität), Impulsantwort und Faltung sowie das Rechnen mit Differenzengleichungen. Anschließend geht es um Abstand und Nummer der DFT-Bins, die Symmetrie des Spektrums reeller Signale, den Rechenaufwand der FFT, Zero-Padding, Leck-Effekt und Fensterfunktionen, den Satz von Parseval, Übertragungsfunktionen mit Polen und Nullstellen über die z-Transformation, FIR- und IIR-Filter, linearen Phasengang und Gruppenlaufzeit, gleitenden Mittelwert und exponentielle Glättung, die bilineare Transformation, Koeffizientenquantisierung, Dezimation und Interpolation sowie die Abschätzung der Zahl der Multiply-Accumulate-Operationen und der Rechenzeit bei Echtzeitverarbeitung. Die Werte der Rechenaufgaben, auch die der falschen Antwortoptionen, wurden mit Python (NumPy) nachgerechnet. Abtasttheorem, Aliasing, Quantisierungsrauschen, Überabtastung und ΔΣ-A/D-Wandler werden in „A/D- und D/A-Wandlung“ behandelt, analoge Filter und Operationsverstärker in „Analog- und Elektronikschaltungen“, OFDM in „Grundlagen der Funkkommunikation“, die Faltung in CNNs in „Grundlagen des maschinellen Lernens“ und die Festkommadarstellung in „Computerarithmetik“.

Alle Fragen zu Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung (40)
  1. Ein Sinussignal mit 6 kHz wird mit einer Abtastfrequenz von 48 kHz abgetastet. Welche normierte Kreisfrequenz ω (Phasenfortschritt pro Abtastwert) hat das entstehende zeitdiskrete Signal?
  2. Welche Grundperiode (die kleinste positive ganze Zahl N, für die x[n + N] = x[n] für alle ganzen Zahlen n gilt) hat das zeitdiskrete Signal x[n] = cos(0,3πn)?
  3. Welches Signal nimmt für alle ganzen Zahlen n dieselben Werte an wie das zeitdiskrete Signal x[n] = cos(1,75πn)?
  4. Welche Beziehung zwischen dem Einheitsimpuls δ[n] (1 bei n = 0, sonst 0) und dem Einheitssprung u[n] (1 für n ≥ 0, 0 für n < 0) ist richtig?
  5. Welche Energie E = Σ|x[n]|² hat x[n] = (0,5)ⁿu[n] (0,5 hoch n für n ≥ 0, 0 für n < 0)?
  6. Welche mittlere Leistung (Mittelwert von |x[n]|² über eine Periode) hat x[n] = 2cos(πn/4)?
  7. Welches der folgenden Systeme mit Eingang x[n] und Ausgang y[n] ist sowohl linear als auch zeitinvariant (LTI)?
  8. Welche Aussage über das System y[n] = n·x[n] ist richtig?
  9. Welches der folgenden Systeme mit Eingang x[n] und Ausgang y[n] ist kausal (der Ausgang hängt nur von Eingängen bis zum aktuellen Zeitpunkt ab)?
  10. u[n] sei der Einheitssprung. Welches der folgenden LTI-Systeme, gegeben durch seine Impulsantwort, ist BIBO-stabil (jeder beschränkte Eingang ergibt einen beschränkten Ausgang)?
  11. Die Folge x[n] = {1, 2, 3} (n = 0, 1, 2) wird auf ein LTI-System mit der Impulsantwort h[n] = {1, −1} (n = 0, 1) gegeben. Welche Ausgangswerte y[0] bis y[3] ergeben sich?
  12. Auf das durch die Differenzengleichung y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1] beschriebene System wird ab n = 0 ein Einheitssprung (x[n] = 1 für n ≥ 0) gegeben. Welchen Wert hat y[2], wenn y[−1] = 0 ist?
  13. Ein mit 48 kHz abgetastetes Signal wird mit einer diskreten Fourier-Transformation (DFT) mit 1024 Punkten analysiert. Welchen Abstand haben die Frequenz-Bins?
  14. k = 0 sei das Bin des Gleichanteils. Ein mit 8 kHz abgetastetes 1-kHz-Sinussignal wird mit einer 256-Punkt-DFT analysiert. Bei welchem Bin-Index k erscheint die Spitze auf der Seite der positiven Frequenzen?
  15. Eine 64-Punkt-DFT eines reellen Signals x[n] ergibt X[10] = 3 + 4j. Welchen Wert hat X[54]?
  16. Die DFT des reellen 8-Punkt-Signals x[n] = {3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1} sei X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/8). Welchen Wert hat X[4], das Bin bei der Nyquist-Frequenz?
  17. Eine N-Punkt-DFT erfordere nach ihrer Definition etwa N² Operationen, mit der FFT (schnelle Fourier-Transformation) etwa N log₂N Operationen. Welcher Wert kommt für N = 1024 der Verringerung der Operationszahl durch die FFT am nächsten?
  18. An ein Signal mit 256 Punkten werden 768 Nullen angehängt (Zero-Padding), und es wird eine 1024-Punkt-DFT berechnet. Welche Aussage ist im Vergleich zur DFT der unveränderten 256 Punkte richtig?
  19. Was ist die Hauptursache für den Leck-Effekt bei der DFT?
  20. Welche Aussage zu den Fensterfunktionen vor einer DFT vergleicht das Rechteckfenster (kein Fenster angewendet) und das Hann-Fenster (Hanning-Fenster) richtig?
  21. Die Punktzahl N sei hinreichend groß. Bei einer DFT mit Rechteckfenster liegt ein Sinussignal genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Bins. Welcher Wert kommt dem Abfall der im nächstgelegenen Bin abgelesenen Amplitude gegenüber einem Sinussignal genau in der Bin-Mitte am nächsten?
  22. Die DFT des 4-Punkt-Signals x[n] = {1, −1, 2, 0} sei X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/4). Welchen Wert hat Σ|X[k]|² (k = 0 bis 3)?
  23. Entlang welcher Kurve wird z bewegt, wenn der Frequenzgang eines zeitdiskreten LTI-Systems aus seiner Übertragungsfunktion H(z) bestimmt wird?
  24. Welche Übertragungsfunktion H(z) = Y(z)/X(z) hat das durch die Differenzengleichung y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] beschriebene System?
  25. Welche Kombination aus Polen und Stabilität gilt für das kausale System mit der Übertragungsfunktion H(z) = 1/(1 − 1,3z⁻¹ + 0,4z⁻²)?
  26. Ein FIR-Filter mit der Übertragungsfunktion H(z) = 1 + z⁻² (y[n] = x[n] + x[n − 2]) arbeitet mit einer Abtastfrequenz von 8 kHz. Bei welcher Frequenz eines sinusförmigen Eingangssignals ist der Ausgang 0?
  27. Welche Kombination der Verstärkungsbeträge beim Gleichanteil (DC) und bei der Nyquist-Frequenz gilt für das Filter y[n] = x[n] − x[n − 1] (Differenz zum vorherigen Eingang)?
  28. Welche Eigenschaft hat ein FIR-Filter (Filter mit endlicher Impulsantwort)?
  29. Welches der folgenden FIR-Filter mit 5 Taps hat einen linearen Phasengang?
  30. Welche Gruppenlaufzeit hat ein linearphasiges FIR-Filter mit 101 Taps (mit symmetrischen Koeffizienten)?
  31. Bei einer Abtastfrequenz von 8 kHz wird ein Moving-Average-Filter y[n] = (x[n] + x[n − 1] + … + x[n − 7])/8 verwendet, das den Mittelwert der letzten 8 Abtastwerte bildet. Bei welcher niedrigsten Frequenz ist sein Ausgang 0?
  32. Welche Kombination der Verstärkungen beim Gleichanteil und bei der Nyquist-Frequenz hat das IIR-Tiefpassfilter erster Ordnung, das durch die exponentielle Glättung y[n] = 0,2x[n] + 0,8y[n − 1] gegeben ist?
  33. Welche Aussage über die bilineare Transformation, mit der aus der Übertragungsfunktion H(s) eines analogen Filters ein digitales Filter entworfen wird, ist richtig?
  34. Worauf ist zu achten, wenn ein IIR-Filter hoher Ordnung in Festkommadarstellung mit Koeffizienten begrenzter Bitbreite implementiert wird?
  35. Ein mit 48 kHz abgetastetes Signal wird auf 12 kHz reduziert, indem nur jeder vierte Abtastwert behalten wird (Dezimation um den Faktor 4). Welche Frequenzanteile muss das vor dem Downsampling angeordnete Tiefpassfilter entfernen?
  36. Um die Abtastfrequenz um den Faktor L zu erhöhen, werden zwischen aufeinanderfolgenden Abtastwerten jeweils L − 1 Nullen eingefügt (Einfügen von Nullen). Welche Aussage beschreibt die danach nötige Verarbeitung richtig?
  37. Um die Abtastfrequenz von 44,1 kHz auf 48 kHz umzusetzen, werden Upsampling um den Faktor L und Downsampling um 1/M kombiniert. Welches ist das kleinste ganzzahlige Paar (L, M)?
  38. Ein FIR-Filter mit 256 Taps läuft in Echtzeit bei einer Abtastfrequenz von 44,1 kHz. Wie viele Multiply-Accumulate-Operationen (MAC) werden pro Sekunde benötigt?
  39. Bei einer Abtastfrequenz von 48 kHz wird für jeden Abtastwert der Ausgang eines FIR-Filters berechnet, und zwar auf einem mit 200 MHz getakteten Prozessor, der eine Multiply-Accumulate-Operation pro Taktzyklus ausführt. Welcher Wert kommt der maximalen Zahl von Taps, die sich in Echtzeit verarbeiten lassen, am nächsten, wenn die Zeit für sonstige Verarbeitung vernachlässigt wird?
  40. Bei der Berechnung eines FIR-Filters werden die Produkte aus 16-Bit-Daten und -Koeffizienten in Festkommadarstellung mit 32 Bit dargestellt, und 256 dieser Produkte werden aufsummiert. Welche Akkumulatorbreite ist mindestens nötig, damit garantiert kein Überlauf während der Berechnung auftritt?

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