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Bases du traitement numérique du signal

Soit u[n] l'échelon unité. Parmi les systèmes LTI suivants, donnés par leur réponse impulsionnelle, lequel est stable au sens BIBO (toute entrée bornée donne une sortie bornée) ?

  1. Ah[n] = (−0,9)ⁿu[n]
  2. Bh[n] = u[n]
  3. Ch[n] = (1,1)ⁿu[n]
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Réponse : A. h[n] = (−0,9)ⁿu[n]

Un système LTI est stable au sens BIBO si et seulement si la somme des valeurs absolues de sa réponse impulsionnelle, Σ|h[n]|, est finie. Pour h[n] = (−0,9)ⁿu[n], Σ|h[n]| = Σ0,9ⁿ = 1/(1 − 0,9) = 10, qui est fini : le système est stable. h[n] = u[n] est un accumulateur qui additionne indéfiniment son entrée ; la somme est infinie, et une entrée constante fait croître la sortie sans limite. (1,1)ⁿ croît avec le temps : ce système est instable.

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