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Bases du traitement numérique du signal

Un échelon unité (x[n] = 1 pour n ≥ 0) est appliqué à partir de n = 0 au système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1]. Avec y[−1] = 0, quelle est la valeur de y[2] ?

  1. A1,75
  2. B1,875
  3. C2
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Réponse : A. 1,75

En calculant pas à pas, y[0] = 1 + 0,5 × 0 = 1, y[1] = 1 + 0,5 × 1 = 1,5 et y[2] = 1 + 0,5 × 1,5 = 1,75. En continuant, on obtient y[n] = 2 − 0,5ⁿ, qui tend vers la valeur finale 1/(1 − 0,5) = 2. Comme les sorties passées sont utilisées (il y a une rétroaction), il s'agit d'un filtre IIR dont la réponse impulsionnelle 0,5ⁿ se prolonge indéfiniment.

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