Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Die DFT des reellen 8-Punkt-Signals x[n] = {3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1} sei X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/8). Welchen Wert hat X[4], das Bin bei der Nyquist-Frequenz?

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Antwort: C. 8

Bei k = N/2 = 4 gilt e^(−jπn) = (−1)ⁿ, also X[4] = Σ(−1)ⁿx[n] = 3 − 1 + 3 − 1 + 3 − 1 + 3 − 1 = 8. Das Signal besteht aus einem Gleichanteil von 2 und einer überlagerten, um ±1 alternierenden Komponente (−1)ⁿ; die alternierende Komponente erscheint im Nyquist-Bin, der Gleichanteil in X[0] = 16. Bei einem reellen Signal sind X[0] und X[N/2] stets reell.

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