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Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

u[n] sei der Einheitssprung. Welches der folgenden LTI-Systeme, gegeben durch seine Impulsantwort, ist BIBO-stabil (jeder beschränkte Eingang ergibt einen beschränkten Ausgang)?

  1. Ah[n] = (−0,9)ⁿu[n]
  2. Bh[n] = u[n]
  3. Ch[n] = (1,1)ⁿu[n]
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: A. h[n] = (−0,9)ⁿu[n]

Ein LTI-System ist genau dann BIBO-stabil, wenn die Summe der Beträge seiner Impulsantwort Σ|h[n]| endlich ist. Für h[n] = (−0,9)ⁿu[n] gilt Σ|h[n]| = Σ0,9ⁿ = 1/(1 − 0,9) = 10; das ist endlich, also ist das System stabil. h[n] = u[n] ist ein Akkumulator, der seinen Eingang fortlaufend aufsummiert; die Summe ist unendlich, und ein konstanter Eingang lässt den Ausgang unbegrenzt wachsen. (1,1)ⁿ wächst mit der Zeit, dieses System ist also instabil.

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