でんたつかんすう
線形で時不変な系の入力と出力の関係を、初期値をすべて0としたときの出力と入力のラプラス変換の比 G(s) = Y(s)/X(s) で表したもの。系のインパルス応答のラプラス変換に等しい。分母を0にする s を極、分子を0にする s を零点と呼び、極の位置から安定性や応答の速さがわかる。s = jω とおくと周波数応答が得られる。離散時間の系では、z変換を使って H(z) で表す。
「伝達関数」は、3分野の26問の練習問題に出てきます(制御工学の基礎, デジタル信号処理の基礎, 回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)など)。
この用語の分野: 制御工学の基礎
伝達関数を使うと、要素の直列の接続は掛け算、並列の接続は足し算で表せます。負帰還のループでは、前向きの伝達関数を G(s)、フィードバックの伝達関数を H(s) とすると、閉ループ伝達関数は G(s)/(1 + G(s)H(s)) になります。積 G(s)H(s) は一巡伝達関数(ループ伝達関数)と呼ばれ、安定性や安定の余裕を調べるときの出発点になります。
RC回路のローパスフィルタは 1/(1 + sRC) という一次遅れ系で、RLC回路やモータの位置の制御ループは、二次遅れ系で表されることが多くあります。積分は 1/s、微分は s、時間 L のむだ時間は e^(−Ls) です。分母の次数が分子の次数以上の伝達関数をプロパーと呼び、実際の物理的な系はふつうこの形になります。
極 p は応答に e^(pt) の成分を生むので、すべての極の実部が負なら系は安定です。極が虚軸に近いほど応答はゆっくり減衰し、虚部が大きいほど速く振動します。零点は応答の形を変え、s平面の右半分に零点をもつ系では、ステップ応答が最初に逆向きに動く逆応答が現れることがあり、速い制御が難しくなります。
正解：A. s = −1,000 s⁻¹
解き方1(伝達関数から): 分圧の式から H(s) = (1/(sC))/(R + 1/(sC)) = 1/(1 + sRC) で、分母が0になる s = −1/(RC) が極です。RC = 1×10³ × 1×10⁻⁶ = 1×10⁻³ s なので、極は s = −1,000 s⁻¹ です。解き方2(時間応答との対応): 極 s = −a はステップ応答などの e^(−at) の項に対応し、RC回路の応答 e^(−t/RC) から、極は −1/τ = −1/(1 ms) と読めます。極の大きさ1,000 rad/sは遮断角周波数で、周波数にすると約159 Hzです。
伝達関数 G(s) は複素数 s の関数で、s を虚軸の上の jω に限ったものが周波数応答 G(jω) です。周波数応答の大きさと位相を周波数に対して描いたものが、ボード線図です。
そのままでは定義できません。動作点の近くで線形化すれば、その近くでの小さな変化について伝達関数を使えます。飽和や不感帯のような強い非線形性は、別の方法で扱います。
解き方1(伝達関数から): 分圧の式から H(s) = (1/(sC))/(R + 1/(sC)) = 1/(1 + sRC) で、分母が0になる s = −1/(RC) が極です。
図(a)のRCローパスフィルタで、R = 1 kΩ、C = 1 µF である。伝達関数 H(s) = Vout(s)/…分母の G(s)H(s) は、信号がループをひと回りするときの伝達関数で、一巡伝達関数(ループ伝達関数)と呼びます。
前向きの経路の伝達関数が G(s)、フィードバックの経路の伝達関数が H(s) の負帰還のブロック線図がある。目標値 …伝達関数は、初期値をすべて0としたときの、出力と入力のラプラス変換の比です。
線形で時不変な系の伝達関数の説明として正しいものはどれか。どちらも、一巡伝達関数が点 −1(ゲイン0 dB、位相 −180°)にどれだけ近いかを表す指標で、閉ループではなく一巡伝達関数から読み取ります。
一巡伝達関数のボード線図から読み取る、ゲイン余裕と位相余裕の説明として正しいものはどれか。一巡伝達関数が ωn²/(s(s + 2ζωn)) の標準的な系では、位相余裕60°でオーバーシュートは約9%、30°では約42%になります。
一巡伝達関数のゲインを上げたところ、位相余裕が60°から30°に減った。閉ループのステップ応答の変化として正しいものは…Amazonの検索結果へのリンクです。Amazonのアソシエイトとして、半導体教室は適格販売により収入を得ています。
ナイキスト周波数 位相余裕(フェーズマージン) ラプラス変換 時定数 一次遅れ系 ゲイン余裕(利得余裕) z変換 インパルス応答 二次遅れ系 定常偏差