Nederlands
Menu

Wat is Overdrachtsfunctie?

De relatie tussen ingang en uitgang van een lineair tijdinvariant systeem, uitgedrukt als de verhouding G(s) = Y(s)/X(s) van de laplacegetransformeerden van uitgang en ingang met alle beginwaarden gelijk aan 0. Ze is gelijk aan de laplacegetransformeerde van de impulsrespons. Waarden van s waarvoor de noemer 0 wordt, zijn polen, en waarden waarvoor de teller 0 wordt, nulpunten; de ligging van de polen toont de stabiliteit en de snelheid van de respons. Met s = jω ontstaat de frequentierespons. Voor discrete-tijdsystemen wordt ze geschreven als H(z), met de z-transformatie.

Japanse benaming: 伝達関数

“Overdrachtsfunctie” komt voor in 23 oefenvragen uit 2 onderwerpen, bijv. Basis van regeltechniek, Basis van digitale signaalverwerking.

Vakgebied: Basis van regeltechniek

Rekenen met blokschema's

Met overdrachtsfuncties worden elementen in serie met elkaar vermenigvuldigd en parallelle elementen opgeteld. In een lus met negatieve terugkoppeling met voorwaartse overdrachtsfunctie G(s) en terugkoppeloverdrachtsfunctie H(s) is de gesloten-lusoverdrachtsfunctie G(s)/(1 + G(s)H(s)). Het product G(s)H(s) heet de lusoverdrachtsfunctie (open-lusoverdrachtsfunctie) en is het vertrekpunt om de stabiliteit en de stabiliteitsmarges te onderzoeken.

Typische vormen

Een RC-laagdoorlaatfilter is het eerste-ordesysteem 1/(1 + sRC), terwijl RLC-schakelingen en positielussen van motoren vaak als tweede-ordesystemen worden weergegeven. Een integrator is 1/s, een differentiator s en een looptijd L is e^(−Ls). Een overdrachtsfunctie waarvan de graad van de noemer minstens die van de teller is, heet proper, en echte fysische systemen hebben normaal deze vorm.

Wat polen en nulpunten vertellen

Een pool p levert een component e^(pt) in de respons, dus het systeem is stabiel als alle polen een negatief reëel deel hebben. Polen dichter bij de imaginaire as doven langzamer uit, en grotere imaginaire delen oscilleren sneller. Nulpunten veranderen de vorm van de respons; een systeem met een nulpunt in de rechterhelft van het s-vlak kan een inverse respons vertonen, waarbij de staprespons eerst de verkeerde kant op beweegt, en snelle regeling wordt dan moeilijk.

Nu oefenen: vragen over Overdrachtsfunctie

Langs welke weg wordt z gevarieerd als de frequentierespons van een discreet-tijd-LTI-systeem wordt bepaald uit de overdrachtsfunctie H(z)?

  1. ALangs de eenheidscirkel van het z-vlak (z = e^(jω), |z| = 1)
  2. BLangs de positieve reële as van het z-vlak (z = r, waarbij r een reëel getal groter dan 0 is)
  3. CLangs de imaginaire as van het z-vlak (z = jω)
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: A. Langs de eenheidscirkel van het z-vlak (z = e^(jω), |z| = 1)

De frequentierespons is H(z) met z = e^(jω) ingevuld; als ω van −π tot π loopt, gaat z één keer rond de eenheidscirkel. z = 1 (ω = 0) komt overeen met DC en z = −1 (ω = π) met de nyquistfrequentie. Bij de laplacetransformatie in continue tijd wordt de frequentierespons bepaald op de imaginaire as s = jω; in discrete tijd vervult de eenheidscirkel die rol.

Wat is de overdrachtsfunctie H(z) = Y(z)/X(z) van het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1]?

  1. A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
  2. B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
  3. C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Een vertraging van één sample komt bij de z-transformatie overeen met vermenigvuldigen met z⁻¹, dus de z-transformatie van beide leden geeft Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). De termen met Y(z) links verzamelen geeft (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), dus H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). De teller bevat de coëfficiënten aan de ingangskant en de noemer die van de terugkoppeling van de uitgang; z = 0,25, waarvoor de noemer 0 wordt, is een pool, en z = −0,5, waarvoor de teller 0 wordt, is een nulpunt.

Veelgestelde vragen

Wat is het verschil tussen een overdrachtsfunctie en een frequentierespons?

Een overdrachtsfunctie G(s) is een functie van de complexe variabele s, en door s te beperken tot jω op de imaginaire as ontstaat de frequentierespons G(jω). De grootte en de fase van de frequentierespons uitzetten tegen de frequentie geeft een bodediagram.

Hebben niet-lineaire systemen een overdrachtsfunctie?

Niet zoals ze zijn. Door te lineariseren rond een werkpunt kan voor kleine veranderingen rond dat punt een overdrachtsfunctie worden gebruikt. Sterke niet-lineariteiten zoals verzadiging en dode zones worden met andere methoden behandeld.

“Overdrachtsfunctie” in de toelichting

Vragen met “Overdrachtsfunctie” (23)

  1. Langs welke weg wordt z gevarieerd als de frequentierespons van een discreet-tijd-LTI-systeem wordt bepaald uit de overdrachtsfunctie H(z)?
  2. Wat is de overdrachtsfunctie H(z) = Y(z)/X(z) van het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1]?
  3. Welke combinatie van polen en stabiliteit is juist voor het causale systeem met overdrachtsfunctie H(z) = 1/(1 − 1,3z⁻¹ + 0,4z⁻²)?
  4. Een FIR-filter met overdrachtsfunctie H(z) = 1 + z⁻² (y[n] = x[n] + x[n − 2]) werkt met een bemonsteringsfrequentie van 8 kHz. Bij welke frequentie van een sinusvormig ingangssignaal is de uitgang 0?
  5. Welke beschrijving van de bilineaire transformatie, die wordt gebruikt om een digitaal filter te ontwerpen uit de overdrachtsfunctie H(s) van een analoog filter, is juist?
  6. In een blokschema met negatieve terugkoppeling heeft het voorwaartse pad de overdrachtsfunctie G(s) en het terugkoppelpad de overdrachtsfunctie H(s). Welke is de gesloten-lusoverdrachtsfunctie Y(s)/R(s) van het setpoint R(s) naar de uitgang Y(s)?
  7. Op een systeem met de overdrachtsfunctie G(s) = 5/(s + 2) wordt een stap met grootte 1 aangelegd. Welke is de eindwaarde van de uitgang (de waarde voor t → ∞)?
  8. Welke beschrijving van de overdrachtsfunctie van een lineair tijdinvariant systeem is juist?
  9. Op een eerste-ordesysteem met de overdrachtsfunctie G(s) = 2/(1 + 0,5s) wordt op tijdstip 0 een stap met grootte 1 aangelegd. Welke waarde ligt het dichtst bij de uitgang op t = 1 s?
  10. Op een eerste-ordesysteem werd een stap met grootte 2 aangelegd. De uitgang kwam uiteindelijk op 6 uit en bereikte 0,4 s na de ingang ongeveer 63% van de eindwaarde. Welke is de overdrachtsfunctie van dit systeem?
  11. Welke combinatie van eigenhoekfrequentie ωn en dempingsverhouding ζ is juist voor het tweede-ordesysteem met de overdrachtsfunctie G(s) = 25/(s² + 4s + 25)?
  12. Welke waarde is de uitregeltijd tot de staprespons van het systeem met overdrachtsfunctie G(s) = 25/(s² + 4s + 25) binnen ±2% van de eindwaarde blijft, geschat met de benadering ts ≈ 4/(ζωn)?
  13. In een systeem met eenheidsterugkoppeling is de voorwaartse overdrachtsfunctie G(s) = 9/(1 + 2s). Welke is de blijvende regelafwijking bij een stapvormig setpoint met grootte 1?
  14. In een systeem met eenheidsterugkoppeling en een stabiele gesloten lus bevat de voorwaartse overdrachtsfunctie G(s) één integrator 1/s (een type-1-systeem). Welke beschrijving van de blijvende regelafwijking is juist?
  15. Een systeem met eenheidsterugkoppeling heeft de lusoverdrachtsfunctie K/(s(s + 1)(s + 2)). Voor welk bereik van K is het gesloten-lussysteem stabiel?

Vergelijkingen met deze term

Verwante termen

Nyquistfrequentie Fasemarge (phase margin) Laplacetransformatie Eerste-ordesysteem Tijdconstante Versterkingsmarge (gain margin) Z-transformatie Impulsrespons Blijvende regelafwijking (steady-state error) Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz

Naar de woordenlijst