ボード線図の計算

正解：A. 折れ点の角周波数 ω = 1/T でゲインは約 −3 dB、位相は −45° で、それより十分高い周波数ではゲインが −20 dB/dec で下がる

G(jω) = 1/(1 + jωT) の大きさは 1/√(1 + (ωT)²) で、ω = 1/T では 1/√2(約 −3 dB)、位相は −45° です。ω が 1/T より十分大きいと大きさは 1/(ωT) に近づき、周波数が10倍になるごとにゲインが20 dB下がります(−20 dB/dec)。位相は、低い周波数の0°から高い周波数の −90° へ変わります。ボード線図の折れ線近似では、折れ点より下を0 dBの水平線、上を −20 dB/dec の直線で表します。

正解：C. ゲインは ω = 1 rad/s で0 dBを通る −20 dB/dec の直線で、位相はどの周波数でも −90° になる

G(jω) = 1/(jω) の大きさは 1/ω なので、ω = 1 rad/s で0 dBになり、周波数が10倍になるごとに20 dB下がります。1/j = −j なので、位相はどの周波数でも −90° です。低い周波数ほどゲインが大きくなるので、積分を含む系は、ステップの目標値に対する定常偏差を0にできます。+20 dB/dec で位相 +90° の直線になるのは、微分要素 s です。

正解：A. −40 dB

低い周波数でのゲインは 20 log₁₀10 = 20 dBです。100 rad/sから1000 rad/sまでは −20 dB/dec で下がって1000 rad/sで0 dBになり、そこから先は2つ目の極が加わって −40 dB/dec で下がります。1000 rad/sから10⁴ rad/sまでは1ディケードなので、ゲインは 0 − 40 = −40 dBです。実際の値も約 −40.04 dBで、折れ点から十分離れた周波数では、折れ線近似がよく合います。

正解：B. ゲイン余裕は位相が −180° になる周波数でのゲインの0 dBまでの差、位相余裕はゲインが0 dBになる周波数での位相の −180° までの差である

ゲイン余裕は、位相が −180° になる位相交差周波数で、ゲインが0 dBより何dB低いかを表します。位相余裕は、ゲインが0 dBになるゲイン交差周波数で、位相が −180° まであと何度あるかを表します。どちらも、一巡伝達関数が点 −1(ゲイン0 dB、位相 −180°)にどれだけ近いかを表す指標で、閉ループではなく一巡伝達関数から読み取ります。サーボ系では、ゲイン余裕10〜20 dB、位相余裕40〜60°程度がよく目安にされます。

正解：B. 約9.5 dB

位相は −90° − tan⁻¹ω − tan⁻¹(ω/2) で、2つの角の和が90°になる条件 ω × (ω/2) = 1 から、位相が −180° になるのは ω = √2 rad/s のときです。そこでのゲインは |L(j√2)| = 2/(√2 × √3 × √6) = 1/3 なので、ゲイン余裕は 20 log₁₀3 ≈ 9.5 dBです。ゲインを3倍(K = 6)にすると限界に達することになり、ラウス・フルビッツの安定判別法で求めた安定の範囲 0 < K < 6 と一致します。

正解：C. 応答は速くなる傾向があるが、オーバーシュートが大きくなり、振動が収まりにくくなる

ゲインを上げるとゲイン交差周波数が高くなって応答は速くなりますが、位相余裕が減ると、閉ループの減衰係数が小さくなります。目安として、減衰係数 ζ は位相余裕(度)の約100分の1と見積もられます。一巡伝達関数が ωn²/(s(s + 2ζωn)) の標準的な系では、位相余裕60°でオーバーシュートは約9%、30°では約42%になります。位相余裕が0に近づくと持続振動に近づき、負になると不安定になります。