デジタル信号処理の基礎
サンプリング周波数8 kHzで動作する、伝達関数 H(z) = 1 + z⁻²(y[n] = x[n] + x[n − 2])のFIRフィルタがある。出力が0になる正弦波の入力の周波数として正しいものはどれか。
- A1 kHz
- B2 kHz
- C4 kHz
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正解：B. 2 kHz
1 + z⁻² = 0 の解、つまり零点は z² = −1 から z = ±j で、単位円の上の ω = ±π/2 にあります。ω = π/2 は f = ω·fs/(2π) = fs/4 = 2 kHz に当たり、2 kHz の正弦波は2サンプル前の値とちょうど符号が逆になるので、足すと0になります。零点が単位円の上にあると、その周波数を完全に取り除くノッチ(切り欠き)ができます。4 kHz(ナイキスト周波数)では z⁻² = 1 なので、利得は2になります。
- A. 1 kHz(ω = π/4)では z⁻² = e^(−jπ/2) = −j で、|1 − j| = √2 ≈ 1.41 なので0にはなりません。
- B. 正しい。零点 z = ±j は ω = π/2、つまり fs/4 = 2 kHz に当たります。
- C. ナイキスト周波数(z = −1)では z⁻² = 1 で、利得は 1 + 1 = 2 です。