にじおくれけい
伝達関数が G(s) = Kωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) で表される系。ωn を固有角周波数、ζ を減衰係数(減衰比)と呼ぶ。0 < ζ < 1 ではステップ応答が振動しながら最終値に近づき、ζ = 1 では行き過ぎなく最も速く落ち着き、ζ > 1 ではゆっくり近づく。ばねと質量とダンパの機械系、RLC回路、位置の制御ループなどがこの形で表される。高次の系も、主要な2つの極で近似して扱うことが多い。
「二次遅れ系」は、2分野の9問の練習問題に出てきます(制御工学の基礎, 回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)など)。
この用語の分野: 制御工学の基礎
オーバーシュートは exp(−πζ/√(1 − ζ²)) で、ζ だけで決まります。ζ = 0.5 で約16%、ζ ≈ 0.707(1/√2)で約4.3%です。行き過ぎが最大になる時刻は π/ωd で、ωd = ωn√(1 − ζ²) は減衰しながら振動する角周波数です。ζ が小さいほど応答は速く立ち上がりますが、行き過ぎと振動が大きくなります。
0 < ζ < 1 の極は s = −ζωn ± jωd で、原点からの距離が ωn、負の実軸となす角 θ が cos θ = ζ を満たします。実部 ζωn が減衰の速さを決め、±2%の整定時間はおよそ 4/(ζωn) と見積もられます。この式は振動の包絡線から求めた近似で、実際の値はこれより少し短いことが多くあります。
ボード線図では、ωn を折れ点として、高い周波数でゲインが −40 dB/dec で下がり、位相は0°から −180° まで変わります。ζ が約0.707より小さいと、ωn の近くでゲインが盛り上がる共振のピークが現れます。フィードバックをかけた系では、位相余裕が小さいほど閉ループの ζ が小さくなり、目安として ζ は位相余裕(度)の約100分の1です。
正解：A. ζ = 0.25 で、減衰振動
解き方1(標準形との比較): 特性方程式は s² + (R/L)s + 1/(LC) = 0 で、標準形 s² + 2ζωn s + ωn² と比べると ωn = 1/√(LC) = 1×10⁵ rad/s、2ζωn = R/L です。これから ζ = (R/2)√(C/L) = 25 × √(0.1×10⁻⁶/1×10⁻³) = 25 × 0.01 = 0.25 です。解き方2(臨界抵抗との比): 臨界減衰になる抵抗は 2√(L/C) = 200 Ω なので、ζ = R/(2√(L/C)) = 50/200 = 0.25 と求めることもできます。ζ < 1 なので、ステップ応答は最終値を行き過ぎ、振動しながら収まる減衰振動です。
正解：C. 0 < ζ < 1
0 < ζ < 1 では極が共役な複素数になり、応答は振動しながら最終値に近づきます(不足減衰)。ζ = 1 では極が負の実数の重根になり、行き過ぎのない応答のうちで最も速く落ち着きます(臨界減衰)。ζ > 1 では極が2つの負の実数になり、行き過ぎはないものの、ゆっくりと近づきます(過減衰)。ζ = 0 では振動が減衰せずに続き、ζ < 0 では不安定になります。
行き過ぎを少しにして速く応答させたい場合は、ζ = 0.5〜0.8程度がよく選ばれます。ζ ≈ 0.707 はオーバーシュートが約4.3%で、周波数応答に共振のピークが出ない境目でもあります。行き過ぎが許されない用途では、ζ ≥ 1 に設計します。
虚軸に近い2つの極(代表極)がほかの極より十分遅い場合は、その2つの極で近似して見積もれます。ほかの極や零点が近いと誤差が大きくなるので、数値計算で確かめるのが確実です。
標準形の二次遅れ系のオーバーシュートは exp(−πζ/√(1 − ζ²)) で表され、固有角周波数 ωn にはよりません。
減衰係数 ζ = 0.5 の二次遅れ系(零点のない標準形)にステップを入力した。オーバーシュート(最大の行き過ぎ量の、…s平面で、原点と極を結ぶ線が負の実軸となす角を θ とすると ζ = cos θ で、θ が大きいほど減衰係数は小さくなります。
零点のない二次遅れ系で、極を s = −σ ± jωd とする。σ を変えずに ωd だけを大きくしたときの、ステップ…解き方2(減衰係数): 標準形 s² + 2ζωn s + ωn² と比べると ζ = (R/2)√(C/L) で、臨界減衰の ζ = 1 から同じ R = 2√(L/C) = 200 Ω が得られます。
図の直列RLC回路で、L = 1 mH、C = 0.1 µF である。ステップ応答が振動せずに最も速く最終値に近づく臨…解き方2(減衰係数から): ζ = α/ωn = 0.25 なので、ωd = ωn√(1 − ζ²) = 10⁵ × √0.9375 ≈ 9.68×10⁴ rad/s で、同じ結果になります。
図の直列RLC回路で、L = 1 mH、C = 0.1 µF、R = 50 Ω である。ステップ応答に現れる減衰振動の…解き方2(減衰係数): ωn = 1/√(LC) = 2 rad/s、ζ = (R/2)√(C/L) = 2.5 × 0.5 = 1.25 で、ζ > 1 なので過減衰と判定できます。
図の直列RLC回路で、R = 5 Ω、L = 1 H、C = 0.25 F である。回路の特性方程式の根と、ステップ応…Amazonの検索結果へのリンクです。Amazonのアソシエイトとして、半導体教室は適格販売により収入を得ています。
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