デジタル信号処理の基礎
差分方程式 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1] で表されるシステムの伝達関数 H(z) = Y(z)/X(z) として正しいものはどれか。
- A(1 + 0.5z⁻¹)/(1 + 0.25z⁻¹)
- B(1 − 0.25z⁻¹)/(1 + 0.5z⁻¹)
- C(1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
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正解：C. (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
1サンプルの遅れは、z変換では z⁻¹ を掛けることに当たるので、両辺をz変換すると Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z) です。Y(z) の項を左辺に集めると (1 − 0.25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0.5z⁻¹)X(z) となり、H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹) です。分子は入力の側、分母は出力の帰還の側の係数を表し、分母を0にする z = 0.25 が極、分子を0にする z = −0.5 が零点です。
- A. 帰還の項を左辺に移すときに、係数の符号を反転し忘れています。
- B. 正しい H(z) の逆数(分子と分母が入れ替わったもの)です。
- C. 正しい。帰還の項を左辺に移すと、分母の係数の符号が反転します。