デジタル信号処理の基礎
伝達関数 H(z) = 1/(1 − 1.3z⁻¹ + 0.4z⁻²) で表される因果的なシステムの、極と安定性の組み合わせとして正しいものはどれか。
- A極は z = −0.5 と z = −0.8 で、安定である
- B極は z = 0.5 と z = 0.8 で、安定である
- C極は z = 1.25 と z = 2 で、不安定である
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正解：B. 極は z = 0.5 と z = 0.8 で、安定である
分母と分子に z² を掛けると H(z) = z²/(z² − 1.3z + 0.4) となり、極は z² − 1.3z + 0.4 = (z − 0.5)(z − 0.8) = 0 から z = 0.5 と 0.8 です。因果的なシステムは、すべての極が単位円の内側(|z| < 1)にあるとき安定なので、このシステムは安定です。分母を z⁻¹ の多項式のまま 1 − 1.3p + 0.4p² = 0(p = z⁻¹)として解くと p = 1.25, 2 になりますが、これは極の逆数で、極そのものではありません。
- A. 符号が逆です。z² − 1.3z + 0.4 = 0 の根は、正の0.5と0.8です。
- B. 正しい。(z − 0.5)(z − 0.8) = z² − 1.3z + 0.4 で、どちらも単位円の内側にあります。
- C. z⁻¹ についての方程式の解で、極の逆数(1/0.8 = 1.25、1/0.5 = 2)です。