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Was ist Übertragungsfunktion?

Beschreibung des Ein-/Ausgangsverhaltens eines linearen zeitinvarianten Systems als Verhältnis G(s) = Y(s)/X(s) der Laplace-Transformierten von Ausgang und Eingang bei Anfangswerten 0. Sie ist gleich der Laplace-Transformierten der Impulsantwort. Werte von s, die den Nenner zu 0 machen, sind Pole, solche, die den Zähler zu 0 machen, Nullstellen; die Lage der Pole zeigt Stabilität und Antwortgeschwindigkeit. Mit s = jω ergibt sich der Frequenzgang. Bei zeitdiskreten Systemen schreibt man sie mithilfe der z-Transformation als H(z).

Japanische Bezeichnung: 伝達関数

„Übertragungsfunktion“ kommt in 23 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Grundlagen der Regelungstechnik, Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung.

Fachgebiet: Grundlagen der Regelungstechnik

Rechnen mit Blockschaltbildern

Mit Übertragungsfunktionen werden in Reihe geschaltete Glieder multipliziert und parallel geschaltete addiert. In einem Kreis mit Gegenkopplung mit der Übertragungsfunktion G(s) im Vorwärtszweig und H(s) im Rückführzweig lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G(s)/(1 + G(s)H(s)). Das Produkt G(s)H(s) heißt Übertragungsfunktion des offenen Kreises (Kreisübertragungsfunktion) und ist der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Stabilität und Stabilitätsreserven.

Typische Formen

Ein RC-Tiefpass ist das PT1-Glied 1/(1 + sRC), während RLC-Schaltungen und Lageregelkreise von Motoren oft als PT2-Glieder dargestellt werden. Ein Integrierglied ist 1/s, ein Differenzierglied s und eine Totzeit L ist e^(−Ls). Eine Übertragungsfunktion, deren Nennergrad mindestens so groß wie der Zählergrad ist, heißt proper (realisierbar); reale physikalische Systeme haben normalerweise diese Form.

Was Pole und Nullstellen verraten

Ein Pol p erzeugt in der Antwort einen Anteil e^(pt), daher ist das System stabil, wenn alle Pole negativen Realteil haben. Pole nahe der imaginären Achse klingen langsamer ab, und größere Imaginärteile schwingen schneller. Nullstellen verändern die Form der Antwort; ein System mit einer Nullstelle in der rechten Hälfte der s-Ebene kann ein nichtminimalphasiges Verhalten (inverse Antwort) zeigen, bei dem sich die Sprungantwort zuerst in die falsche Richtung bewegt, und eine schnelle Regelung wird schwierig.

Jetzt üben: Fragen zu Übertragungsfunktion

Entlang welcher Kurve wird z bewegt, wenn der Frequenzgang eines zeitdiskreten LTI-Systems aus seiner Übertragungsfunktion H(z) bestimmt wird?

  1. AAuf dem Einheitskreis der z-Ebene (z = e^(jω), |z| = 1)
  2. BAuf der positiven reellen Achse der z-Ebene (z = r, wobei r eine reelle Zahl größer als 0 ist)
  3. CAuf der imaginären Achse der z-Ebene (z = jω)
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: A. Auf dem Einheitskreis der z-Ebene (z = e^(jω), |z| = 1)

Der Frequenzgang ist H(z) mit eingesetztem z = e^(jω); durchläuft ω den Bereich von −π bis π, umrundet z den Einheitskreis einmal. z = 1 (ω = 0) entspricht dem Gleichanteil und z = −1 (ω = π) der Nyquist-Frequenz. Bei der zeitkontinuierlichen Laplace-Transformation wird der Frequenzgang auf der imaginären Achse s = jω bestimmt; im zeitdiskreten Fall übernimmt der Einheitskreis diese Rolle.

Welche Übertragungsfunktion H(z) = Y(z)/X(z) hat das durch die Differenzengleichung y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] beschriebene System?

  1. A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
  2. B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
  3. C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Eine Verzögerung um einen Abtastwert entspricht in der z-Transformation der Multiplikation mit z⁻¹; die Transformation beider Seiten ergibt daher Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). Fasst man die Y(z)-Terme links zusammen, erhält man (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), also H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Der Zähler enthält die Koeffizienten der Eingangsseite, der Nenner die der Rückkopplung des Ausgangs; z = 0,25, das den Nenner zu 0 macht, ist ein Pol, und z = −0,5, das den Zähler zu 0 macht, ist eine Nullstelle.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Übertragungsfunktion und Frequenzgang?

Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine Funktion der komplexen Variablen s; beschränkt man s auf jω auf der imaginären Achse, erhält man den Frequenzgang G(jω). Trägt man Betrag und Phase des Frequenzgangs über der Frequenz auf, erhält man ein Bode-Diagramm.

Haben nichtlineare Systeme eine Übertragungsfunktion?

Nicht unmittelbar. Durch Linearisierung um einen Arbeitspunkt lässt sich für kleine Änderungen in dessen Nähe eine Übertragungsfunktion verwenden. Starke Nichtlinearitäten wie Sättigung und Totzonen werden mit anderen Methoden behandelt.

„Übertragungsfunktion“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Übertragungsfunktion“ (23)

  1. Entlang welcher Kurve wird z bewegt, wenn der Frequenzgang eines zeitdiskreten LTI-Systems aus seiner Übertragungsfunktion H(z) bestimmt wird?
  2. Welche Übertragungsfunktion H(z) = Y(z)/X(z) hat das durch die Differenzengleichung y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] beschriebene System?
  3. Welche Kombination aus Polen und Stabilität gilt für das kausale System mit der Übertragungsfunktion H(z) = 1/(1 − 1,3z⁻¹ + 0,4z⁻²)?
  4. Ein FIR-Filter mit der Übertragungsfunktion H(z) = 1 + z⁻² (y[n] = x[n] + x[n − 2]) arbeitet mit einer Abtastfrequenz von 8 kHz. Bei welcher Frequenz eines sinusförmigen Eingangssignals ist der Ausgang 0?
  5. Welche Aussage über die bilineare Transformation, mit der aus der Übertragungsfunktion H(s) eines analogen Filters ein digitales Filter entworfen wird, ist richtig?
  6. Ein Blockschaltbild mit Gegenkopplung hat im Vorwärtszweig die Übertragungsfunktion G(s) und im Rückführzweig die Übertragungsfunktion H(s). Welche ist die Übertragungsfunktion Y(s)/R(s) des geschlossenen Regelkreises vom Sollwert R(s) zum Ausgang Y(s)?
  7. Auf ein System mit der Übertragungsfunktion G(s) = 5/(s + 2) wird ein Sprung der Höhe 1 gegeben. Welcher ist der Endwert des Ausgangs (sein Wert für t → ∞)?
  8. Welche Beschreibung der Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems ist richtig?
  9. Auf ein PT1-Glied mit der Übertragungsfunktion G(s) = 2/(1 + 0,5s) wird zum Zeitpunkt 0 ein Sprung der Höhe 1 gegeben. Welcher Wert liegt dem Ausgang bei t = 1 s am nächsten?
  10. Auf ein PT1-Glied wird ein Sprung der Höhe 2 gegeben; der Ausgang stellt sich schließlich auf 6 ein und erreicht 0,4 s nach dem Sprung etwa 63 % seines Endwerts. Welche ist die Übertragungsfunktion dieses Systems?
  11. Welches Paar aus Eigenkreisfrequenz ωn und Dämpfungsgrad ζ ist für das PT2-Glied mit der Übertragungsfunktion G(s) = 25/(s² + 4s + 25) richtig?
  12. Wie groß ist die Ausregelzeit, bis die Sprungantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s) = 25/(s² + 4s + 25) innerhalb von ±2 % des Endwerts bleibt, geschätzt mit der Näherung ts ≈ 4/(ζωn)?
  13. In einem System mit Einheitsrückführung ist die Übertragungsfunktion im Vorwärtszweig G(s) = 9/(1 + 2s). Wie groß ist die bleibende Regelabweichung bei einem Sollwertsprung der Höhe 1?
  14. In einem System mit Einheitsrückführung und stabilem geschlossenem Kreis enthält die Übertragungsfunktion G(s) im Vorwärtszweig einen Integrator 1/s (ein System vom Typ 1). Welche Aussage zur bleibenden Regelabweichung ist richtig?
  15. Ein System mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises K/(s(s + 1)(s + 2)). Für welchen Bereich von K ist der geschlossene Kreis stabil?

Vergleiche mit diesem Begriff

Verwandte Begriffe

Nyquist-Frequenz Phasenreserve (Phase Margin) Laplace-Transformation PT1-Glied (Verzögerungsglied erster Ordnung) Zeitkonstante Amplitudenreserve (Verstärkungsreserve) z-Transformation Impulsantwort Bleibende Regelabweichung Routh-Hurwitz-Kriterium

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