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Qu'est-ce que Fonction de transfert ?

Relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire invariant dans le temps, exprimée par le rapport G(s) = Y(s)/X(s) des transformées de Laplace de la sortie et de l'entrée, toutes les conditions initiales étant nulles. Elle est égale à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. Les valeurs de s qui annulent le dénominateur sont les pôles et celles qui annulent le numérateur les zéros ; la position des pôles renseigne sur la stabilité et la rapidité de la réponse. En posant s = jω, on obtient la réponse en fréquence. Pour les systèmes à temps discret, elle s'écrit H(z), avec la transformée en z.

Nom japonais: 伝達関数

« Fonction de transfert » apparaît dans 23 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Bases de l'automatique, Bases du traitement numérique du signal.

Domaine: Bases de l'automatique

Calculer avec les schémas fonctionnels

Avec les fonctions de transfert, des éléments en série se multiplient et des éléments en parallèle s'additionnent. Dans une boucle à contre-réaction de fonction de transfert directe G(s) et de fonction de transfert de retour H(s), la fonction de transfert en boucle fermée vaut G(s)/(1 + G(s)H(s)). Le produit G(s)H(s) s'appelle fonction de transfert en boucle ouverte (fonction de transfert de boucle) et constitue le point de départ de l'étude de la stabilité et des marges de stabilité.

Formes typiques

Un filtre passe-bas RC est le système du premier ordre 1/(1 + sRC), tandis que les circuits RLC et les boucles de position des moteurs sont souvent représentés par des systèmes du second ordre. Un intégrateur s'écrit 1/s, un dérivateur s et un retard pur L e^(−Ls). Une fonction de transfert dont le degré du dénominateur est au moins égal à celui du numérateur est dite propre, et les systèmes physiques réels ont normalement cette forme.

Ce que disent les pôles et les zéros

Un pôle p fait apparaître une composante e^(pt) dans la réponse : le système est donc stable si tous les pôles ont une partie réelle négative. Les pôles proches de l'axe imaginaire s'amortissent plus lentement, et une partie imaginaire plus grande donne des oscillations plus rapides. Les zéros modifient la forme de la réponse ; un système qui possède un zéro dans le demi-plan droit du plan s peut présenter une réponse inverse, dans laquelle la réponse indicielle part d'abord dans le mauvais sens, et une commande rapide devient alors difficile.

S'entraîner : questions sur Fonction de transfert

Lorsqu'on obtient la réponse en fréquence d'un système LTI à temps discret à partir de sa fonction de transfert H(z), le long de quoi fait-on varier z ?

  1. ALe long du cercle unité du plan z (z = e^(jω), |z| = 1)
  2. BLe long du demi-axe réel positif du plan z (z = r, où r est un réel supérieur à 0)
  3. CLe long de l'axe imaginaire du plan z (z = jω)
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Réponse : A. Le long du cercle unité du plan z (z = e^(jω), |z| = 1)

La réponse en fréquence est H(z) dans laquelle on remplace z par e^(jω) ; quand ω va de −π à π, z fait une fois le tour du cercle unité. z = 1 (ω = 0) correspond à la composante continue, et z = −1 (ω = π) à la fréquence de Nyquist. Pour la transformée de Laplace en temps continu, la réponse en fréquence s'obtient sur l'axe imaginaire s = jω ; en temps discret, c'est le cercle unité qui joue ce rôle.

Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?

  1. A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
  2. B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
  3. C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)
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Réponse : C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Un retard d'un échantillon correspond, dans la transformée en z, à une multiplication par z⁻¹ : en transformant les deux membres, on obtient Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). En regroupant les termes en Y(z) à gauche, on obtient (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), donc H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Le numérateur contient les coefficients du côté de l'entrée et le dénominateur ceux de la rétroaction de la sortie ; z = 0,25, qui annule le dénominateur, est un pôle, et z = −0,5, qui annule le numérateur, est un zéro.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction de transfert et une réponse en fréquence ?

Une fonction de transfert G(s) est une fonction de la variable complexe s, et restreindre s à jω sur l'axe imaginaire donne la réponse en fréquence G(jω). Tracer le module et la phase de la réponse en fréquence en fonction de la fréquence donne un diagramme de Bode.

Les systèmes non linéaires ont-ils une fonction de transfert ?

Pas tels quels. En linéarisant autour d'un point de fonctionnement, on peut utiliser une fonction de transfert pour les petites variations autour de ce point. Les fortes non-linéarités comme la saturation et les zones mortes se traitent par d'autres méthodes.

« Fonction de transfert » dans les explications

Questions mentionnant « Fonction de transfert » (23)

  1. Lorsqu'on obtient la réponse en fréquence d'un système LTI à temps discret à partir de sa fonction de transfert H(z), le long de quoi fait-on varier z ?
  2. Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?
  3. Quelle combinaison des pôles et de la stabilité du système causal de fonction de transfert H(z) = 1/(1 − 1,3z⁻¹ + 0,4z⁻²) est correcte ?
  4. Un filtre FIR de fonction de transfert H(z) = 1 + z⁻² (y[n] = x[n] + x[n − 2]) fonctionne à une fréquence d'échantillonnage de 8 kHz. Quelle est la fréquence d'une entrée sinusoïdale pour laquelle la sortie est nulle ?
  5. Quelle description de la transformation bilinéaire, utilisée pour concevoir un filtre numérique à partir de la fonction de transfert H(s) d'un filtre analogique, est correcte ?
  6. Dans un schéma fonctionnel à contre-réaction, la chaîne directe a pour fonction de transfert G(s) et la chaîne de retour H(s). Quelle est la fonction de transfert en boucle fermée Y(s)/R(s) de la consigne R(s) à la sortie Y(s) ?
  7. On applique un échelon d'amplitude 1 à un système de fonction de transfert G(s) = 5/(s + 2). Quelle est la valeur finale de la sortie (sa valeur quand t → ∞) ?
  8. Quelle description de la fonction de transfert d'un système linéaire invariant dans le temps est correcte ?
  9. On applique à l'instant 0 un échelon d'amplitude 1 à un système du premier ordre de fonction de transfert G(s) = 2/(1 + 0,5s). Quelle valeur est la plus proche de la sortie à t = 1 s ?
  10. On a appliqué un échelon d'amplitude 2 à un système du premier ordre : la sortie s'est finalement stabilisée à 6 et a atteint environ 63 % de sa valeur finale 0,4 s après l'application de l'entrée. Quelle est la fonction de transfert de ce système ?
  11. Quel couple de pulsation propre ωn et de coefficient d'amortissement ζ est correct pour le système du second ordre de fonction de transfert G(s) = 25/(s² + 4s + 25) ?
  12. Quel est le temps de stabilisation, jusqu'à ce que la réponse indicielle du système de fonction de transfert G(s) = 25/(s² + 4s + 25) reste à ±2 % de sa valeur finale, estimé avec l'approximation ts ≈ 4/(ζωn) ?
  13. Dans un système à retour unitaire, la fonction de transfert de la chaîne directe est G(s) = 9/(1 + 2s). Quelle est l'erreur en régime permanent pour une consigne en échelon d'amplitude 1 ?
  14. Dans un système à retour unitaire dont la boucle fermée est stable, la fonction de transfert de la chaîne directe G(s) contient un intégrateur 1/s (système de classe 1). Quelle description de l'erreur en régime permanent est correcte ?
  15. Un système à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte K/(s(s + 1)(s + 2)). Pour quelle plage de K le système en boucle fermée est-il stable ?

Comparatifs incluant ce terme

Termes associés

Fréquence de Nyquist Marge de phase Transformée de Laplace Système du premier ordre Constante de temps Marge de gain Transformée en z Réponse impulsionnelle Erreur en régime permanent (erreur statique) Critère de Routh–Hurwitz

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