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本質載子濃度的溫度相依性

溫度升高時，由價帶受熱激發到導帶的電子會呈指數增加。輸入材料與溫度即可計算本質載子濃度 ni，並確認摻雜後的半導體在多高的溫度以下仍能維持由摻雜決定的特性。

輸入條件

計算結果

本質載子濃度 ni
–
該溫度下的能隙 Eg(T)
–
熱能 kT
–
相對於 300 K 時 ni 的倍率
–
多數載子（電子）濃度 n
–
少數載子（電洞）濃度 p
–
ni = ND 的溫度（轉為本質的參考）
–

縱軸為對數刻度。實線為所選材料，虛線為另外兩種材料（由上而下依序為 Ge、Si、GaAs）。紅點為目前的數值。

300 K 的 ni 採用代表值 Si 1.0×10¹⁰、Ge 2.0×10¹³、GaAs 2.1×10⁶ cm⁻³（與 PN 接面計算器相同），並假設有效能態密度 Nc、Nv 與 T^1.5 成正比。能隙的溫度變化採用 Varshni 公式 Eg(T) = Eg(0) − αT²/(T + β)，係數為代表性物性值（Si：1.17 eV、4.73×10⁻⁴ eV/K、636 K；Ge：0.7437、4.774×10⁻⁴、235；GaAs：1.519、5.405×10⁻⁴、204）。多數與少數載子以施體全部游離的 n 型計算。未考慮低溫下施體游離不完全的現象（凍結效應）。

本質載子濃度的公式

在不含雜質的半導體中，受熱激發到導帶的電子與留在價帶的電洞數量相同，其濃度即為本質載子濃度 ni = √(Nc·Nv)·exp(−Eg/2kT)。Nc 與 Nv 分別是導帶與價帶的有效能態密度，與 T^1.5 成正比。由於能隙位於指數中，ni 隨溫度急遽增加，且在相同溫度下，能隙越大的材料 ni 小上好幾個數量級。本工具以 300 K 的代表值為基準，依 ni(T) = ni(300 K) × (T/300)^1.5 × exp[−(Eg(T)/kT − Eg(300 K)/(k·300 K))/2] 計算。

前提條件

假設有效質量不隨溫度改變，Nc、Nv 的溫度相依性只有 T^1.5。能隙的溫度變化以 Varshni 公式納入。多數載子與少數載子是針對施體全部游離的 n 型，由電荷中性 n = p + ND 與質量作用定律 n·p = ni² 求出：n = ND/2 + √((ND/2)² + ni²)、p = ni²/n。不適用於施體游離不完全的低溫（Si 約在 100 K 以下），或高到發生簡併的濃度。

計算範例

以預設的 Si、300 K 為例，ni = 1.0×10¹⁰ cm⁻³。在 100 °C（373 K）時約為 1.3×10¹² cm⁻³，增加約 130 倍；在 400 K 時約為 5.3×10¹² cm⁻³，增加約 530 倍。ND = 10¹⁵ cm⁻³ 的 n 型在 300 K 時，電子濃度幾乎等於 10¹⁵ cm⁻³，電洞濃度為 ni²/ND = 10⁵ cm⁻³。提高溫度後，ni 在約 547 K（約 274 °C）時追上 ND；溫度更高時，熱產生的載子會超過摻雜提供的載子，n 型的特性逐漸消失。在相同條件下，Ge 約為 391 K（約 118 °C），GaAs 約為 771 K（約 498 °C），由此可知能隙越大的材料越能在高溫下使用。

使用的數值與出處類型

300 K 的 ni 與 Varshni 公式的係數，是半導體元件教科書與物性手冊所列的代表性物性值。Si 的 ni 依文獻不同，介於 9.65×10⁹～1.5×10¹⁰ cm⁻³，近年常用約 1.0×10¹⁰ cm⁻³。Ge 約介於 2.0～2.4×10¹³ cm⁻³，GaAs 約介於 1.8～2.1×10⁶ cm⁻³。波茲曼常數為 k = 8.617×10⁻⁵ eV/K。請將結果用於掌握數量級與隨溫度變化的趨勢。

練習半導體物性題目

提高本質半導體的溫度時，本質載子濃度會如何變化？

  1. A增加
  2. B減少
  3. C不變
查看答案與解析

正確答案：A. 增加

溫度上升時，價電帶的電子藉由熱能更容易越過能隙，電子與電洞對隨之增加。本質載子濃度為 ni ∝ T^(3/2)·exp(−Eg/2kT)，矽在室溫附近每升高約10 ℃，大約會增為2倍。這種急遽的增加，正是pn接面逆向漏電流在高溫下增加的原因，也是能隙較大的SiC和GaN耐高溫操作的原因。

下列何者最接近室溫下矽的本質載子濃度？

  1. A約1×10⁴ cm⁻³
  2. B約1×10¹⁰ cm⁻³
  3. C約1×10²² cm⁻³
查看答案與解析

正確答案：B. 約1×10¹⁰ cm⁻³

矽的本質載子濃度在室溫下約為1×10¹⁰ cm⁻³（依文獻為1.0～1.5×10¹⁰）。與原子密度約5×10²² cm⁻³相比，大約每10¹²個原子才有1個自由載子。鍺約為2×10¹³，GaAs約為2×10⁶ cm⁻³，能隙越大，數值就小上好幾個數量級。ni之所以這麼小，正是只需少許摻雜就能自在控制導電性的原因。

熱平衡狀態下半導體的電子濃度n與電洞濃度p的乘積（n×p），下列何者正確？（ni：本質載子濃度）

  1. A永遠為0
  2. B等於ni的平方
  3. C等於雜質濃度的平方
查看答案與解析

正確答案：B. 等於ni的平方

在熱平衡狀態下，即使摻入雜質，n × p = ni² 仍然成立（質量作用定律）。電子增加後，可供複合的對象變多，電洞便會相應減少。例如在矽（ni ≈ 1×10¹⁰ cm⁻³）中摻入1×10¹⁶ cm⁻³的施體，電洞濃度為1×10⁴ cm⁻³。在有光照射或電流注入的非平衡狀態下則不成立，此時 np > ni²。

施體濃度為1×10¹⁶ cm⁻³的n型矽（施體全部離子化，本質載子濃度ni = 1×10¹⁰ cm⁻³），其電洞濃度約為多少？

  1. A1×10⁴ cm⁻³
  2. B1×10⁶ cm⁻³
  3. C1×10¹⁰ cm⁻³
查看答案與解析

正確答案：A. 1×10⁴ cm⁻³

由於施體全部離子化，電子濃度為 n ≈ 1×10¹⁶ cm⁻³。根據質量作用定律 n × p = ni²，p = (1×10¹⁰)² ÷ 1×10¹⁶ = 1×10⁴ cm⁻³。雖然少數載子只有多數載子的一兆分之一，但PN接面的逆向電流和雙載子電晶體的動作都是由這些少數載子負責。ni隨溫度急遽增加，因此少數載子濃度在高溫下也會大幅增加。

常見問題

溫度上升 10 K 時，Si 的 ni 會變成幾倍？

在室溫附近約為 2.2 倍（300 K → 310 K）。逆向飽和電流等與 ni² 成正比的量約會變成 5 倍，因此 PN 接面的漏電流對溫度非常敏感。

知道 ni 可以用在哪裡？

可用於少數載子濃度 p = ni²/ND、PN 接面的內建電位 (kT/q)ln(NA·ND/ni²)、二極體的逆向飽和電流（與 ni² 成正比），以及高溫下漏電流的估算等。這些都透過 ni 的溫度相依性，決定了元件的溫度特性。

為什麼 SiC 與 GaN 功率半導體耐高溫？

因為它們的能隙約在 3 eV 以上，ni 比矽小了數十個數量級。即使在數百 °C，熱產生的載子也追不上摻雜提供的載子，不易轉為本質，因此在高溫下漏電流仍小，元件得以正常運作。

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