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Temperaturabhängigkeit der intrinsischen Ladungsträgerdichte

Mit steigender Temperatur nimmt die Zahl der Elektronen, die thermisch aus dem Valenzband ins Leitungsband gehoben werden, exponentiell zu. Wählen Sie Material und Temperatur, um die intrinsische Ladungsträgerdichte ni zu berechnen, und prüfen Sie, bis zu welcher Temperatur ein dotierter Halbleiter seine durch die Dotierung bestimmten Eigenschaften behält.

Eingaben

Ergebnisse

Intrinsische Ladungsträgerdichte ni
–
Bandlücke bei dieser Temperatur Eg(T)
–
Thermische Energie kT
–
Faktor gegenüber ni bei 300 K
–
Majoritätsträgerdichte (Elektronen) n
–
Minoritätsträgerdichte (Löcher) p
–
Temperatur mit ni = ND (Richtwert für intrinsisches Verhalten)
–

Die vertikale Achse ist logarithmisch. Die durchgezogene Linie gilt für das gewählte Material, die gestrichelten Linien für die beiden anderen (von oben Ge, Si, GaAs). Der rote Punkt ist der aktuelle Wert.

Als typische Werte für ni bei 300 K werden Si 1,0×10¹⁰, Ge 2,0×10¹³ und GaAs 2,1×10⁶ cm⁻³ verwendet (dieselben Werte wie im PN-Übergang-Rechner); die effektiven Zustandsdichten Nc und Nv werden als proportional zu T^1.5 angenommen. Die Temperaturabhängigkeit der Bandlücke folgt der Varshni-Formel Eg(T) = Eg(0) − αT²/(T + β) mit typischen Materialwerten (Si: 1,17 eV, 4,73×10⁻⁴ eV/K, 636 K; Ge: 0,7437, 4,774×10⁻⁴, 235; GaAs: 1,519, 5,405×10⁻⁴, 204). Majoritäts- und Minoritätsträger werden für einen n-Halbleiter mit vollständig ionisierten Donatoren berechnet. Die unvollständige Ionisation der Donatoren bei tiefen Temperaturen (Ausfrieren) ist nicht berücksichtigt.

Formel für die intrinsische Ladungsträgerdichte

In einem undotierten Halbleiter entstehen gleich viele thermisch ins Leitungsband angeregte Elektronen wie im Valenzband zurückbleibende Löcher; ihre Dichte ist die intrinsische Ladungsträgerdichte ni = √(Nc·Nv)·exp(−Eg/2kT). Nc und Nv sind die effektiven Zustandsdichten von Leitungs- und Valenzband und proportional zu T^1.5. Weil die Bandlücke im Exponenten steht, steigt ni mit der Temperatur sehr steil an und ist bei gleicher Temperatur für Materialien mit größerer Bandlücke um Größenordnungen kleiner. Dieser Rechner geht vom typischen Wert bei 300 K aus und rechnet mit ni(T) = ni(300 K) × (T/300)^1.5 × exp[−(Eg(T)/kT − Eg(300 K)/(k·300 K))/2].

Annahmen

Die effektiven Massen werden als temperaturunabhängig betrachtet, sodass für Nc und Nv nur die Abhängigkeit T^1.5 eingeht. Die Temperaturabhängigkeit der Bandlücke wird über die Varshni-Formel berücksichtigt. Majoritäts- und Minoritätsträger werden für einen n-Halbleiter mit vollständig ionisierten Donatoren aus der Ladungsneutralität n = p + ND und dem Massenwirkungsgesetz n·p = ni² bestimmt: n = ND/2 + √((ND/2)² + ni²), p = ni²/n. Bei tiefen Temperaturen mit unvollständiger Ionisation der Donatoren (bei Si etwa unter 100 K) oder bei so hoher Dotierung, dass Entartung eintritt, ist die Rechnung nicht anwendbar.

Rechenbeispiel

Mit den Standardwerten Si und 300 K gilt ni = 1,0×10¹⁰ cm⁻³. Bei 100 ℃ (373 K) steigt ni auf etwa 1,3×10¹² cm⁻³, also etwa auf das 130-Fache, bei 400 K auf etwa 5,3×10¹² cm⁻³, etwa das 530-Fache. In einem n-Halbleiter mit ND = 10¹⁵ cm⁻³ beträgt die Elektronendichte bei 300 K nahezu 10¹⁵ cm⁻³, die Löcherdichte ni²/ND = 10⁵ cm⁻³. Bei steigender Temperatur erreicht ni den Wert ND bei etwa 547 K (etwa 274 ℃); darüber übersteigen die thermisch erzeugten Ladungsträger die durch Dotierung bereitgestellten, und der n-Charakter geht zunehmend verloren. Unter denselben Bedingungen liegt dieser Punkt für Ge bei etwa 391 K (etwa 118 ℃) und für GaAs bei etwa 771 K (etwa 498 ℃) – das zeigt, warum Materialien mit größerer Bandlücke bis zu höheren Temperaturen einsetzbar sind.

Verwendete Werte und Art der Quellen

Die Werte für ni bei 300 K und die Koeffizienten der Varshni-Formel sind typische Materialwerte aus Lehrbüchern über Halbleiterbauelemente und Materialdatensammlungen. Für Si wird ni je nach Quelle mit 9,65×10⁹ bis 1,5×10¹⁰ cm⁻³ angegeben; in neuerer Zeit ist etwa 1,0×10¹⁰ cm⁻³ verbreitet. Für Ge reichen die Angaben von etwa 2,0 bis 2,4×10¹³ cm⁻³, für GaAs von etwa 1,8 bis 2,1×10⁶ cm⁻³. Die Boltzmann-Konstante beträgt k = 8,617×10⁻⁵ eV/K. Nutzen Sie die Ergebnisse, um Größenordnungen und den Verlauf mit der Temperatur abzuschätzen.

Übungsfragen zur Halbleiterphysik

Was geschieht mit der intrinsischen Ladungsträgerdichte, wenn die Temperatur eines intrinsischen Halbleiters erhöht wird?

  1. ASie nimmt zu
  2. BSie nimmt ab
  3. CSie ändert sich nicht
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Antwort: A. Sie nimmt zu

Mit steigender Temperatur überwinden Elektronen des Valenzbands durch thermische Energie leichter die Bandlücke, und die Zahl der Elektron-Loch-Paare nimmt zu. Die intrinsische Ladungsträgerdichte beträgt ni ∝ T^(3/2)·exp(−Eg/2kT) und verdoppelt sich bei Silizium nahe Raumtemperatur etwa je 10 °C Temperaturanstieg. Dieser starke Anstieg ist die Ursache dafür, dass der Sperrstrom von pn-Übergängen bei hoher Temperatur zunimmt, und auch der Grund, weshalb SiC und GaN mit großer Bandlücke für den Hochtemperaturbetrieb geeignet sind.

Welcher Wert kommt der intrinsischen Ladungsträgerdichte von Silizium bei Raumtemperatur am nächsten?

  1. Aetwa 1×10⁴ cm⁻³
  2. Betwa 1×10¹⁰ cm⁻³
  3. Cetwa 1×10²² cm⁻³
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Antwort: B. etwa 1×10¹⁰ cm⁻³

Die intrinsische Ladungsträgerdichte von Silizium beträgt bei Raumtemperatur etwa 1×10¹⁰ cm⁻³ (je nach Literatur 1,0 bis 1,5×10¹⁰). Verglichen mit der Atomdichte von etwa 5×10²² cm⁻³ gibt es nur etwa bei einem von 10¹² Atomen einen freien Ladungsträger. Germanium hat etwa 2×10¹³ und GaAs etwa 2×10⁶ cm⁻³; je größer die Bandlücke, desto um Größenordnungen kleiner. Diese Kleinheit von ni ist der Grund, weshalb sich die Leitfähigkeit durch geringe Dotierung frei steuern lässt.

Welches Produkt aus Elektronendichte n und Löcherdichte p (n×p) eines Halbleiters im thermischen Gleichgewicht ist richtig? (ni: intrinsische Ladungsträgerdichte)

  1. AEs ist stets 0
  2. BEs ist gleich ni²
  3. CEs ist gleich dem Quadrat der Dotierungskonzentration
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Antwort: B. Es ist gleich ni²

Im thermischen Gleichgewicht gilt auch nach Dotierung n × p = ni² (Massenwirkungsgesetz). Es beschreibt, dass bei mehr Elektronen mehr Rekombinationspartner vorhanden sind und die Löcher entsprechend abnehmen. Werden beispielsweise in Silizium (ni ≈ 1×10¹⁰ cm⁻³) Donatoren mit 1×10¹⁶ cm⁻³ eingebracht, sinkt die Löcherdichte auf 1×10⁴ cm⁻³. Im Nichtgleichgewicht, etwa bei Beleuchtung oder Strominjektion, gilt es nicht, und es ist np > ni².

Wie groß ist die Löcherdichte in n-Silizium mit einer Donatorkonzentration von 1×10¹⁶ cm⁻³ (alle Donatoren ionisiert, intrinsische Ladungsträgerdichte ni = 1×10¹⁰ cm⁻³) ungefähr?

  1. A1×10⁴ cm⁻³
  2. B1×10⁶ cm⁻³
  3. C1×10¹⁰ cm⁻³
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Antwort: A. 1×10⁴ cm⁻³

Da alle Donatoren ionisiert sind, beträgt die Elektronendichte n ≈ 1×10¹⁶ cm⁻³. Nach dem Massenwirkungsgesetz n × p = ni² ist p = (1×10¹⁰)² ÷ 1×10¹⁶ = 1×10⁴ cm⁻³. Die Minoritätsladungsträger machen nur ein Billionstel der Majoritätsladungsträger aus, doch der Sperrstrom von PN-Übergängen und die Funktion von Bipolartransistoren werden von ihnen getragen. Da ni mit der Temperatur stark steigt, nimmt auch die Minoritätsladungsträgerdichte bei hoher Temperatur stark zu.

Häufige Fragen

Um welchen Faktor steigt ni von Si, wenn die Temperatur um 10 K zunimmt?

In der Nähe der Raumtemperatur etwa um das 2,2-Fache (300 K → 310 K). Größen, die proportional zu ni² sind, etwa der Sperrsättigungsstrom, steigen etwa um das 5-Fache – deshalb reagiert der Leckstrom eines PN-Übergangs sehr empfindlich auf die Temperatur.

Wofür kann ich ni verwenden?

Für die Minoritätsträgerdichte p = ni²/ND, die Diffusionsspannung eines PN-Übergangs (kT/q)ln(NA·ND/ni²), den Sperrsättigungsstrom einer Diode (proportional zu ni²) oder die Abschätzung von Leckströmen bei hohen Temperaturen. Über die Temperaturabhängigkeit von ni bestimmen all diese Größen das Temperaturverhalten eines Bauelements.

Warum sind SiC- und GaN-Leistungshalbleiter so hitzebeständig?

Ihre Bandlücke ist mit etwa 3 eV oder mehr groß, und ni ist um Dutzende Größenordnungen kleiner als bei Silizium. Selbst bei einigen hundert ℃ erreichen die thermisch erzeugten Ladungsträger die Dotierung nicht, das Material wird also kaum intrinsisch; der Leckstrom bleibt auch bei hohen Temperaturen klein, und das Bauelement funktioniert weiterhin.

Verwandte Begriffe

Intrinsische Ladungsträgerdichte Bandlücke (Bandgap) Effektive Masse Fermi-Niveau Donator (Donor) Halbleiter mit großer Bandlücke (Wide-Bandgap)

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