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Concentration intrinsèque de porteurs en fonction de la température

Quand la température augmente, le nombre d’électrons excités thermiquement de la bande de valence vers la bande de conduction croît exponentiellement. Choisissez un matériau et une température pour calculer la concentration intrinsèque de porteurs ni, et vérifiez jusqu’à quelle température un semi-conducteur dopé conserve des propriétés fixées par son dopage.

Paramètres

Résultats

Concentration intrinsèque de porteurs ni
–
Bande interdite à cette température Eg(T)
–
Énergie thermique kT
–
Facteur par rapport à ni à 300 K
–
Concentration de porteurs majoritaires (électrons) n
–
Concentration de porteurs minoritaires (trous) p
–
Température pour laquelle ni = ND (seuil du régime intrinsèque)
–

L’axe vertical est logarithmique. Le trait plein correspond au matériau choisi, les traits en pointillés aux deux autres (de haut en bas : Ge, Si, GaAs). Le point rouge indique la valeur actuelle.

Valeurs représentatives de ni à 300 K : Si 1,0×10¹⁰, Ge 2,0×10¹³ et GaAs 2,1×10⁶ cm⁻³ (les mêmes que dans le calculateur de jonction PN) ; les densités d’états effectives Nc et Nv sont supposées proportionnelles à T^1.5. La variation de la bande interdite avec la température suit la loi de Varshni Eg(T) = Eg(0) − αT²/(T + β), avec des paramètres physiques représentatifs (Si : 1,17 eV, 4,73×10⁻⁴ eV/K, 636 K ; Ge : 0,7437, 4,774×10⁻⁴, 235 ; GaAs : 1,519, 5,405×10⁻⁴, 204). Les porteurs majoritaires et minoritaires sont calculés pour un matériau de type n aux donneurs entièrement ionisés. L’ionisation incomplète des donneurs à basse température (gel des porteurs, ou freeze-out) n’est pas prise en compte.

Expression de la concentration intrinsèque de porteurs

Dans un semi-conducteur sans dopants, l’agitation thermique crée autant d’électrons dans la bande de conduction que de trous laissés dans la bande de valence ; leur concentration est la concentration intrinsèque de porteurs ni = √(Nc·Nv)·exp(−Eg/2kT). Nc et Nv sont les densités d’états effectives des bandes de conduction et de valence, proportionnelles à T^1.5. Comme la bande interdite figure dans l’exponentielle, ni augmente très fortement avec la température, et à température égale ni est inférieure de plusieurs ordres de grandeur pour un matériau à plus large bande interdite. Cet outil prend comme référence la valeur représentative à 300 K et calcule ni(T) = ni(300 K) × (T/300)^1.5 × exp[−(Eg(T)/kT − Eg(300 K)/(k·300 K))/2].

Hypothèses

La masse effective est supposée indépendante de la température, si bien que Nc et Nv ne dépendent de la température que par T^1.5. La variation de la bande interdite suit la loi de Varshni. Pour un matériau de type n aux donneurs entièrement ionisés, les porteurs majoritaires et minoritaires découlent de la neutralité électrique n = p + ND et de la loi d’action de masse n·p = ni² : n = ND/2 + √((ND/2)² + ni²) et p = ni²/n. Le calcul ne s’applique pas aux basses températures où l’ionisation des donneurs est incomplète (en dessous d’environ 100 K pour le Si), ni aux dopages assez élevés pour rendre le semi-conducteur dégénéré.

Exemple de calcul

Avec les valeurs par défaut, Si à 300 K, ni = 1,0×10¹⁰ cm⁻³. À 100 °C (373 K), on obtient environ 1,3×10¹² cm⁻³, soit environ 130 fois plus, et à 400 K environ 5,3×10¹² cm⁻³, soit environ 530 fois plus. Pour un type n avec ND = 10¹⁵ cm⁻³, la concentration d’électrons à 300 K vaut presque 10¹⁵ cm⁻³ et celle des trous ni²/ND = 10⁵ cm⁻³. Quand la température monte, ni rattrape ND vers 547 K (environ 274 °C) ; au-delà, les porteurs d’origine thermique dépassent ceux apportés par le dopage et le caractère de type n s’estompe. Dans les mêmes conditions, cette température est d’environ 391 K (environ 118 °C) pour le Ge et d’environ 771 K (environ 498 °C) pour le GaAs, ce qui montre pourquoi les matériaux à plus large bande interdite restent utilisables à plus haute température.

Valeurs utilisées et type de sources

Les valeurs de ni à 300 K et les coefficients de la loi de Varshni sont des valeurs physiques représentatives tirées des manuels sur les composants à semi-conducteurs et des recueils de données sur les matériaux. Pour le Si, ni varie selon les sources de 9,65×10⁹ à 1,5×10¹⁰ cm⁻³ ; on utilise souvent aujourd’hui environ 1,0×10¹⁰ cm⁻³. Les valeurs vont d’environ 2,0 à 2,4×10¹³ cm⁻³ pour le Ge et de 1,8 à 2,1×10⁶ cm⁻³ pour le GaAs. La constante de Boltzmann vaut k = 8,617×10⁻⁵ eV/K. Utilisez les résultats pour saisir les ordres de grandeur et la tendance en fonction de la température.

S’entraîner sur la physique des semi-conducteurs

Comment évolue la densité de porteurs intrinsèques lorsque la température d'un semi-conducteur intrinsèque augmente ?

  1. AElle augmente
  2. BElle diminue
  3. CElle ne change pas
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Réponse : A. Elle augmente

Lorsque la température augmente, les électrons de la bande de valence franchissent plus facilement la bande interdite grâce à l'énergie thermique, et les paires électron-trou se multiplient. La densité de porteurs intrinsèques suit ni ∝ T^(3/2)·exp(−Eg/2kT) ; dans le silicium, elle double environ tous les 10 ℃ au voisinage de la température ambiante. Cette forte croissance explique l'augmentation du courant de fuite inverse des jonctions pn à haute température, et la tenue en température des matériaux à large bande interdite comme le SiC et le GaN.

Quelle valeur est la plus proche de la densité de porteurs intrinsèques du silicium à température ambiante ?

  1. AEnviron 1×10⁴ cm⁻³
  2. BEnviron 1×10¹⁰ cm⁻³
  3. CEnviron 1×10²² cm⁻³
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Réponse : B. Environ 1×10¹⁰ cm⁻³

La densité de porteurs intrinsèques du silicium vaut environ 1×10¹⁰ cm⁻³ à température ambiante (1,0 à 1,5×10¹⁰ selon les sources). Comparée à la densité atomique d'environ 5×10²² cm⁻³, cela représente un porteur libre pour environ 10¹² atomes. Elle vaut environ 2×10¹³ pour le germanium et environ 2×10⁶ cm⁻³ pour le GaAs : plus la bande interdite est grande, plus elle est faible, de plusieurs ordres de grandeur. C'est cette faible valeur de ni qui permet de contrôler librement la conductivité par un dopage minime.

Quel est le produit (n×p) de la densité d'électrons n et de la densité de trous p d'un semi-conducteur à l'équilibre thermique ? (ni : densité de porteurs intrinsèques)

  1. AIl est toujours nul
  2. BIl est égal au carré de ni
  3. CIl est égal au carré de la concentration d'impuretés
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Réponse : B. Il est égal au carré de ni

À l'équilibre thermique, n × p = ni² reste vrai même avec dopage (loi d'action de masse). Augmenter les électrons multiplie les partenaires de recombinaison, et les trous diminuent d'autant. Par exemple, en introduisant 1×10¹⁶ cm⁻³ de donneurs dans du silicium (ni ≈ 1×10¹⁰ cm⁻³), les trous tombent à 1×10⁴ cm⁻³. Hors équilibre, sous éclairement ou injection de courant, la relation n'est plus valable et np > ni².

Quelle est approximativement la densité de trous d'un silicium de type n de concentration de donneurs 1×10¹⁶ cm⁻³ (donneurs tous ionisés, densité de porteurs intrinsèques ni = 1×10¹⁰ cm⁻³) ?

  1. A1×10⁴ cm⁻³
  2. B1×10⁶ cm⁻³
  3. C1×10¹⁰ cm⁻³
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Réponse : A. 1×10⁴ cm⁻³

Les donneurs étant tous ionisés, la densité d'électrons vaut n ≈ 1×10¹⁶ cm⁻³. D'après la loi d'action de masse n × p = ni², p = (1×10¹⁰)² ÷ 1×10¹⁶ = 1×10⁴ cm⁻³. Bien que ces porteurs minoritaires ne représentent qu'un billionième des porteurs majoritaires, ce sont eux qui assurent le courant inverse des jonctions PN et le fonctionnement des transistors bipolaires. ni augmentant fortement avec la température, la densité de porteurs minoritaires augmente aussi beaucoup à haute température.

Questions fréquentes

De combien ni du Si augmente-t-elle quand la température monte de 10 K ?

D’un facteur d’environ 2,2 près de la température ambiante (300 K → 310 K). Les grandeurs proportionnelles à ni², comme le courant de saturation inverse, sont multipliées par environ 5 : c’est pourquoi le courant de fuite d’une jonction PN est très sensible à la température.

À quoi sert la connaissance de ni ?

À calculer la concentration de porteurs minoritaires p = ni²/ND, le potentiel de diffusion d’une jonction PN (kT/q)ln(NA·ND/ni²), le courant de saturation inverse d’une diode (proportionnel à ni²) ou à estimer le courant de fuite à haute température. Par la dépendance de ni à la température, toutes ces grandeurs déterminent le comportement thermique des composants.

Pourquoi les semi-conducteurs de puissance en SiC et en GaN supportent-ils bien les hautes températures ?

Leur bande interdite est large, d’environ 3 eV ou plus, et leur ni est inférieure de plusieurs dizaines d’ordres de grandeur à celle du silicium. Même à plusieurs centaines de °C, les porteurs d’origine thermique ne rattrapent pas ceux du dopage et le matériau devient difficilement intrinsèque ; le courant de fuite reste faible et le composant peut fonctionner à haute température.

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Concentration intrinsèque de porteurs Bande interdite (bandgap) Masse effective Niveau de Fermi Donneur Semi-conducteur à large bande interdite

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