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Bases de l'automatique

Un système à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte K/(s(s + 1)(s + 2)). Pour quelle plage de K le système en boucle fermée est-il stable ?

  1. A0 < K < 2
  2. B0 < K < 3
  3. C0 < K < 6
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Réponse : C. 0 < K < 6

L'équation caractéristique est s(s + 1)(s + 2) + K = s³ + 3s² + 2s + K = 0. D'après le critère de Routh–Hurwitz, une équation du troisième degré s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 est stable si tous les coefficients sont positifs et si a₂a₁ > a₀, d'où 3 × 2 > K, c'est-à-dire 0 < K < 6. Pour K = 6, les pôles se placent en s = ±j√2, ce qui donne une oscillation entretenue de pulsation environ 1,41 rad/s (période d'environ 4,4 s). Pour un K plus grand, l'oscillation ne cesse de croître.

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