Qu'est-ce que Système du second ordre ?
Système dont la fonction de transfert s'écrit G(s) = Kωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²), où ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d'amortissement. Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle s'approche de la valeur finale en oscillant ; pour ζ = 1, elle se stabilise le plus vite sans dépassement ; pour ζ > 1, elle s'en approche lentement. Les systèmes mécaniques masse-ressort-amortisseur, les circuits RLC et les boucles d'asservissement de position prennent cette forme. Les systèmes d'ordre plus élevé sont aussi souvent approchés par leurs deux pôles dominants.
Nom japonais: 二次遅れ系
« Système du second ordre » apparaît dans 4 questions d'entraînement réparties sur 1 thèmes, dont Bases de l'automatique.
Domaine: Bases de l'automatique
Coefficient d'amortissement et forme de la réponse
Le dépassement vaut exp(−πζ/√(1 − ζ²)) et ne dépend que de ζ : environ 16 % pour ζ = 0,5 et environ 4,3 % pour ζ ≈ 0,707 (1/√2). L'excursion est maximale à π/ωd, où ωd = ωn√(1 − ζ²) est la pulsation de l'oscillation amortie. Plus ζ est petit, plus la réponse monte vite, mais plus l'excursion et les oscillations sont importantes.
Vu dans la réponse en fréquence
Sur un diagramme de Bode, avec ωn comme cassure, le gain décroît de −40 dB/déc aux hautes fréquences et la phase passe de 0° à −180°. Lorsque ζ est inférieur à environ 0,707, un pic de résonance apparaît dans le gain près de ωn. Dans un système bouclé, plus la marge de phase est faible, plus le ζ de la boucle fermée est petit ; en règle empirique, ζ vaut environ 1/100 de la marge de phase exprimée en degrés.
Questions fréquentes
Quel coefficient d'amortissement viser lors de la conception ?
Pour une réponse rapide avec un léger dépassement, on choisit souvent ζ = 0,5 à 0,8. ζ ≈ 0,707 donne un dépassement d'environ 4,3 % et constitue aussi la limite en dessous de laquelle un pic de résonance apparaît dans la réponse en fréquence. Lorsque le dépassement est interdit, on vise ζ ≥ 1.
Peut-on utiliser les formules du second ordre pour des systèmes du troisième ordre ou d'ordre supérieur ?
Si les deux pôles les plus proches de l'axe imaginaire (les pôles dominants) sont bien plus lents que les autres, on peut estimer la réponse en approchant le système par ces deux pôles. Si d'autres pôles ou des zéros sont proches, l'erreur augmente ; une vérification par calcul numérique est alors la méthode la plus sûre.