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Qu'est-ce que Transformée de Laplace ?

Méthode qui transforme une fonction du temps f(t) (t ≥ 0) en une fonction de la variable complexe s, F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(−st) dt. Avec des conditions initiales nulles, dériver revient à multiplier par s et intégrer à diviser par s, si bien que les équations différentielles linéaires se traitent comme des expressions algébriques en s. C'est l'outil de base pour obtenir les fonctions de transfert en automatique, et pour les systèmes à temps discret, la transformée en z joue le même rôle. Un échelon unité a pour transformée 1/s, et e^(−at) a pour transformée 1/(s + a).

Nom japonais: ラプラス変換

« Transformée de Laplace » apparaît dans 3 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Bases de l'automatique, Bases du traitement numérique du signal.

Domaine: Bases de l'automatique

Paires de transformées usuelles

Une impulsion unité δ(t) devient 1, un échelon unité 1/s, une rampe t 1/s², e^(−at) 1/(s + a) et sin ωt ω/(s² + ω²). Un retard de L dans le temps multiplie par e^(−Ls), et multiplier par e^(−at) remplace s par s + a. En combinant ces paires avec la décomposition en éléments simples, on peut obtenir la transformée inverse de nombreuses réponses à l'aide d'une table.

Théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale

La valeur finale d'une sortie s'obtient par lim[t→∞] f(t) = lim[s→0] sF(s), mais seulement si tous les pôles de sF(s) se trouvent dans le demi-plan gauche du plan s. Par exemple, la valeur finale de la réponse indicielle d'un système de fonction de transfert G(s) est G(0), appelée gain statique. La valeur initiale s'obtient par lim[t→+0] f(t) = lim[s→∞] sF(s).

Lien avec la transformée de Fourier et la transformée en z

Évaluer la transformée de Laplace sur l'axe imaginaire s = jω donne la transformée de Fourier (la réponse en fréquence). Pour les signaux échantillonnés, la transformée en z avec z = e^(sT) joue le même rôle, et le demi-plan gauche du plan s correspond à l'intérieur du cercle unité du plan z. La règle du temps continu « stable si tous les pôles ont une partie réelle négative » devient donc, en temps discret, « stable si tous les pôles sont à l'intérieur du cercle unité ».

S'entraîner : questions sur Transformée de Laplace

Avec toutes les conditions initiales nulles, quelle combinaison d'opérations représente correctement, dans le domaine de s après la transformée de Laplace, la dérivation et l'intégration d'une fonction du temps ?

  1. ADériver revient à multiplier par s, intégrer à diviser par s
  2. BDériver revient à diviser par s, intégrer à multiplier par s
  3. CDériver revient à ajouter s, intégrer à soustraire s
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Réponse : A. Dériver revient à multiplier par s, intégrer à diviser par s

Avec la transformée de Laplace, la dérivée de f(t) correspond à sF(s) − f(0) et l'intégrale à F(s)/s. Avec des conditions initiales nulles, dériver revient donc à multiplier par s et intégrer à diviser par s, si bien qu'une équation différentielle se ramène à des calculs sur des polynômes en s. Par exemple, l'équation d'un circuit RC, RC·dv/dt + v = vin, devient (RCs + 1)V(s) = Vin(s), ce qui donne la fonction de transfert 1/(1 + RCs). L'échelon unité a pour transformée 1/s, et e^(−at) a pour transformée 1/(s + a).

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on la transformée de Laplace en automatique ?

Parce qu'elle transforme les équations différentielles en expressions algébriques, si bien que la fonction de transfert d'un système d'éléments reliés entre eux se construit par multiplications et divisions. La position des pôles renseigne aussi sur la stabilité et la rapidité de la réponse.

Que se passe-t-il si les conditions initiales ne sont pas nulles ?

La transformée d'une dérivée devient sF(s) − f(0), et un terme lié à la valeur initiale subsiste. Les fonctions de transfert sont définies avec des conditions initiales nulles : la réponse due aux conditions initiales est donc considérée séparément et ajoutée.

« Transformée de Laplace » dans les explications

Questions mentionnant « Transformée de Laplace » (3)

  1. Avec toutes les conditions initiales nulles, quelle combinaison d'opérations représente correctement, dans le domaine de s après la transformée de Laplace, la dérivation et l'intégration d'une fonction du temps ?
  2. Lorsqu'on obtient la réponse en fréquence d'un système LTI à temps discret à partir de sa fonction de transfert H(z), le long de quoi fait-on varier z ?
  3. Quelle description de la fonction de transfert d'un système linéaire invariant dans le temps est correcte ?

Termes associés

Fonction de transfert Fréquence de Nyquist Réponse impulsionnelle Transformée en z Commande par anticipation (feedforward) Commande par rétroaction Critère de Routh–Hurwitz Dépassement (overshoot) Diagramme de Bode Emballement de l'intégrale (windup)

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