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Commande en boucle ouverte vs commande en boucle fermée : structure, rejet des perturbations, stabilité, capteurs, usages

La commande en boucle ouverte détermine la grandeur de commande à partir de la consigne et l’applique au procédé, sans mesurer la grandeur réglée qui en résulte pour la vérifier. La commande en boucle fermée mesure la grandeur réglée avec un capteur, la compare à la consigne et corrige sans cesse la grandeur de commande pour réduire la différence (l’erreur). Comme le signal revient de la sortie vers l’entrée et parcourt une boucle, on l’appelle aussi commande par rétroaction. La commande en boucle ouverte est simple et peu coûteuse, et avec un procédé stable le correcteur lui-même ne provoque jamais d’oscillation, mais elle ne peut pas corriger les écarts dus aux perturbations ou aux variations du procédé. La commande en boucle fermée les corrige automatiquement, mais elle a besoin d’un capteur et oscille ou devient instable si l’on pousse trop le gain.

CritèreCommande en boucle ouverteCommande en boucle fermée (commande par rétroaction)
Circulation du signalConsigne → correcteur → procédé → grandeur réglée ; la sortie n’est pas réinjectéeLa grandeur réglée est mesurée par un capteur et la différence avec la consigne (l’erreur) est renvoyée au correcteur ; le signal parcourt une boucle
Capteur (mesure de la grandeur réglée)InutileNécessaire ; la précision et le bruit du capteur limitent la précision de la commande
Réaction aux perturbationsNe peut pas les corriger ; si la charge ou la température ambiante change, la sortie reste à côté de la cibleCorrige tout écart qui apparaît sous forme d’erreur, quelle qu’en soit la cause
Variations du procédéSe répercutent directement sur le résultat : si le gain du procédé baisse de 50 %, la sortie baisse de 50 %Leur effet est réduit : avec une contre-réaction, G = 100 et H = 0,1, diviser G par deux ne fait baisser le gain en boucle fermée que d’environ 8,3 %
RapiditéSeulement le retard propre du procédé ; agit sans attendre qu’une erreur apparaisseIl y a un retard, car la correction intervient après l’apparition d’une erreur ; avec un gain plus élevé, elle peut toutefois répondre plus vite que le procédé seul
StabilitéAvec un procédé stable, le correcteur ne provoque jamais d’oscillation ni de divergenceOscille et diverge si le gain est trop élevé ou si les retards, comme un retard pur, sont importants ; on vérifie avec la marge de gain et la marge de phase
Erreur en régime permanentPeut être nulle si le modèle est exact, mais les erreurs dues aux écarts de modèle et aux perturbations subsistent telles quellesL’action proportionnelle seule laisse une erreur (1/(1 + G(0)) pour un échelon dans un système de type 0) ; ajouter une action intégrale l’annule
Structure et coûtSimple et peu coûteuse ; la précision dépend de l’exactitude du modèle et des composantsNécessite un capteur et un circuit ou un logiciel qui compare et corrige ; la boucle doit être conçue et réglée en tenant compte de la stabilité
ExemplesUn grille-pain qui dore le pain à la seule durée, le positionnement d’un moteur pas à pas en comptant les impulsions, des feux de circulation qui changent à heures fixesTempérature d’une pièce avec un climatiseur, régulateur de vitesse d’une voiture, tension de sortie d’un convertisseur DC-DC, vitesse et position d’un moteur

Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur typiques et varient selon la génération de procédé et le produit.

Quand choisir l'un ou l'autre ?

Commande en boucle ouverte
Lorsque les perturbations sont faibles et que le procédé est bien connu et varie peu. On l’utilise aussi lorsqu’un capteur ne peut pas être installé ou coûterait trop cher. Avec un procédé stable, il n’y a pas de risque d’oscillation et le réglage est simple.
Commande en boucle fermée (commande par rétroaction)
Lorsque le résultat doit suivre précisément la consigne malgré les perturbations, les variations de charge, la dispersion des composants et le vieillissement. La plupart des commandes de température, de vitesse, de position et de tension sont de ce type, la régulation PID en étant l’exemple typique.

Questions fréquentes

La commande par anticipation est-elle une forme de commande en boucle ouverte ?

Si l’on regarde le seul chemin d’anticipation, oui : il détermine la grandeur de commande à partir d’un modèle sans mesurer la grandeur réglée, et a donc une structure en boucle ouverte. Comme il mesure les perturbations ou les changements de consigne et ajoute une action compensatrice avant qu’une erreur n’apparaisse, il répond vite, mais il ne peut pas corriger les perturbations non mesurées ni les erreurs de modèle. On le combine donc généralement à une commande par rétroaction, qui corrige ce qui reste. Le chemin d’anticipation est hors de la boucle : il ne modifie donc pas la stabilité de la boucle.

Pourquoi la commande en boucle fermée est-elle robuste aux variations du procédé ?

Avec une contre-réaction, un gain direct G et un gain de retour H, le gain en boucle fermée vaut G/(1 + GH). Lorsque GH est bien supérieur à 1, il vaut environ 1/H et ne dépend presque pas de G. Avec G = 100 et H = 0,1, le gain en boucle fermée vaut environ 9,09, et même si G est divisé par deux, à 50, il vaut environ 8,33, soit une baisse d’environ 8,3 % seulement. En boucle ouverte, diviser G par deux divise le résultat par deux.

Pourquoi la commande en boucle fermée devient-elle instable ?

À cause des retards du procédé et du capteur, les corrections agissent trop tard. Avec un gain élevé, le correcteur corrige un écart si fort qu’il dépasse dans l’autre sens, et la répétition de ce phénomène produit une oscillation. Si le gain de boucle vaut 1 (0 dB) ou plus à la fréquence où la phase de la fonction de transfert en boucle ouverte atteint −180°, l’oscillation ne cesse de croître et diverge. Les concepteurs vérifient à quelle distance de l’instabilité se trouve la boucle avec la marge de gain et la marge de phase.

Vérifier vos connaissances

Quelle description de la commande par rétroaction (commande en boucle fermée) est correcte ?

  1. AElle agit uniquement selon une grandeur de commande ou une procédure fixées à l'avance, sans mesurer la grandeur réglée, si bien qu'un écart dû à une perturbation n'est pas corrigé automatiquement
  2. BElle mesure la grandeur réglée, la compare à la consigne et modifie la grandeur de commande pour réduire la différence (l'erreur), ce qui permet de réduire l'effet des perturbations et des variations des caractéristiques du procédé
  3. CElle mesure une perturbation et applique une grandeur de commande qui l'annule avant qu'elle n'atteigne la grandeur réglée, ce qui ramène toujours l'erreur à zéro, même pour des perturbations non mesurées et des erreurs de modèle
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Réponse : B. Elle mesure la grandeur réglée, la compare à la consigne et modifie la grandeur de commande pour réduire la différence (l'erreur), ce qui permet de réduire l'effet des perturbations et des variations des caractéristiques du procédé

La commande par rétroaction compare la grandeur réglée, mesurée par un capteur, à la consigne et détermine la grandeur de commande en fonction de l'erreur. Comme le signal revient de la sortie vers l'entrée et fait une fois le tour d'une boucle, on parle aussi de commande en boucle fermée. Son point fort est sa robustesse face aux perturbations et aux variations des caractéristiques du procédé, car elle corrige l'écart du résultat quelle qu'en soit la cause. En revanche, elle ne corrige qu'après l'apparition d'une erreur, d'où un retard, et un gain trop élevé fait osciller la boucle ou la rend instable.

Quelle est la raison correcte de combiner la commande par anticipation (feedforward) avec la commande par rétroaction ?

  1. AL'anticipation peut réagir aux perturbations mesurables et aux changements de consigne avant qu'une erreur n'apparaisse, mais elle ne peut pas corriger les perturbations non mesurées ni les erreurs de modèle ; la rétroaction prend donc en charge le reste
  2. BAjouter l'anticipation modifie le gain et la phase de la fonction de transfert en boucle ouverte et augmente la marge de phase, si bien que la boucle reste stable même avec un gain de rétroaction plus élevé
  3. CAvec la seule rétroaction, une erreur en régime permanent subsiste toujours, même avec une action intégrale ; l'anticipation est donc indispensable pour annuler l'erreur en régime permanent pour une consigne ou une perturbation constante
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Réponse : A. L'anticipation peut réagir aux perturbations mesurables et aux changements de consigne avant qu'une erreur n'apparaisse, mais elle ne peut pas corriger les perturbations non mesurées ni les erreurs de modèle ; la rétroaction prend donc en charge le reste

La commande par anticipation mesure les perturbations ou les changements de consigne et, avant qu'ils n'affectent la grandeur réglée, applique une grandeur de commande calculée à partir d'un modèle. Elle n'attend pas l'apparition d'une erreur et réagit donc vite, mais elle suppose un modèle précis et des perturbations mesurables. Une combinaison courante consiste donc à confier à l'anticipation les perturbations principales et le suivi de la consigne, et à laisser la rétroaction corriger l'écart restant. Le chemin d'anticipation se trouve hors de la boucle : il ne modifie donc pas la stabilité de la boucle (la marge de phase, etc.).

Dans un schéma fonctionnel à contre-réaction, la chaîne directe a pour fonction de transfert G(s) et la chaîne de retour H(s). Quelle est la fonction de transfert en boucle fermée Y(s)/R(s) de la consigne R(s) à la sortie Y(s) ?

  1. AG(s)/(1 − G(s)H(s))
  2. BG(s)H(s)/(1 + G(s)H(s))
  3. CG(s)/(1 + G(s)H(s))
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Réponse : C. G(s)/(1 + G(s)H(s))

L'erreur vaut E(s) = R(s) − H(s)Y(s) et la sortie Y(s) = G(s)E(s). En éliminant E(s) entre les deux équations, on obtient Y(s) = G(s)R(s) − G(s)H(s)Y(s), d'où Y(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s)). Le terme G(s)H(s) du dénominateur est la fonction de transfert que voit un signal en faisant une fois le tour de la boucle ; on l'appelle fonction de transfert en boucle ouverte (fonction de transfert de boucle). Avec un retour unitaire, H(s) = 1, elle devient G(s)/(1 + G(s)).

  1. Un système à contre-réaction a un gain direct G = 100 et un gain de retour H = 0,1. Lorsque G est divisé par deux, à 50, à cause du vieillissement d'un composant, quelle valeur est la plus proche de la diminution relative du gain en boucle fermée ?
  2. Dans un système à retour unitaire, la fonction de transfert de la chaîne directe est G(s) = 9/(1 + 2s). Quelle est l'erreur en régime permanent pour une consigne en échelon d'amplitude 1 ?
  3. Quelle description de la marge de gain et de la marge de phase lues sur le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte est correcte ?

Questions d'entraînement sur Bases de l'automatique

Termes clés expliqués

Commande par rétroaction
Commande qui mesure la grandeur réglée avec un capteur, la compare à la consigne et modifie la grandeur de commande pour réduire la différence (l'erreur). Comme le signal fait le tour d'une boucle, on parle aussi de commande en boucle fermée. Elle corrige les écarts du résultat quelle qu'en soit la cause, et résiste donc bien aux perturbations et aux variations du procédé, mais elle ne corrige qu'après l'apparition d'une erreur, d'où un retard, et un gain trop élevé entraîne des oscillations ou une instabilité. La régulation PID en est l'exemple type, largement utilisée pour réguler la température, la vitesse, la tension, la position, etc.
Commande par anticipation (feedforward)
Commande qui mesure les perturbations ou les changements de consigne et, avant qu'ils n'affectent la grandeur réglée, applique une grandeur de commande calculée à partir d'un modèle du procédé. Elle n'attend pas l'apparition d'une erreur et réagit donc vite, mais elle ne peut corriger ni les erreurs de modèle ni les perturbations non mesurées ; on la combine donc généralement avec une commande par rétroaction. Son chemin se trouve hors de la boucle, si bien qu'elle ne modifie pas la stabilité de la boucle de rétroaction. Dans les usines de semi-conducteurs, le fait d'ajuster les conditions d'une étape du procédé d'après les mesures d'une étape antérieure s'appelle aussi commande par anticipation.
Schéma fonctionnel
Schéma d'un système asservi qui représente chaque élément par une boîte (un bloc) contenant sa fonction de transfert, la circulation des signaux par des flèches, l'addition et la soustraction de signaux par des points de sommation et la dérivation des signaux par des points de prélèvement. Des blocs en série se combinent en le produit de leurs fonctions de transfert et des blocs en parallèle en leur somme, et une boucle à contre-réaction peut être remplacée par un seul bloc G/(1 + GH). En répétant ces transformations équivalentes, on obtient la fonction de transfert de la consigne ou d'une perturbation vers la sortie.
Fonction de transfert
Relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire invariant dans le temps, exprimée par le rapport G(s) = Y(s)/X(s) des transformées de Laplace de la sortie et de l'entrée, toutes les conditions initiales étant nulles. Elle est égale à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. Les valeurs de s qui annulent le dénominateur sont les pôles et celles qui annulent le numérateur les zéros ; la position des pôles renseigne sur la stabilité et la rapidité de la réponse. En posant s = jω, on obtient la réponse en fréquence. Pour les systèmes à temps discret, elle s'écrit H(z), avec la transformée en z.
Erreur en régime permanent (erreur statique)
Différence entre la consigne et la grandeur réglée qui subsiste une fois la réponse d'un système asservi stabilisée ; on l'appelle aussi écart statique ou offset. Dans un système à retour unitaire, elle vaut 1/(1 + Kp) pour une consigne en échelon, où Kp = G(0) est la constante d'erreur de position, et elle ne s'annule pas dans un système sans intégrateur dans la chaîne directe (classe 0). Dans un système de classe 1, avec un intégrateur, l'erreur en régime permanent pour un échelon est nulle, et il subsiste une erreur de 1/Kv pour une consigne en rampe (Kv est la constante d'erreur de vitesse). L'action intégrale de la régulation PI sert à éliminer cette erreur.
Marge de gain
Quantité, en décibels, dont le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte est inférieur à 0 dB à la fréquence où sa phase atteint −180° (la fréquence de croisement de phase). Elle indique par quel facteur le gain de boucle pourrait être augmenté avant que la boucle ne devienne instable ; par exemple, avec une marge de gain d'environ 9,5 dB, tripler le gain amène à la limite de stabilité. Avec la marge de phase, elle exprime la marge de stabilité, et environ 10 à 20 dB est un repère courant pour les asservissements.
Régulation PID
Commande par rétroaction qui fixe la grandeur de commande en additionnant un terme proportionnel à l'erreur e (P), un terme proportionnel à l'intégrale de l'erreur (I) et un terme proportionnel à la dérivée de l'erreur (D). Elle s'écrit u = Kp(e + (1/Ti)∫e dt + Td·de/dt), où Kp est le gain proportionnel, Ti le temps d'intégration et Td le temps de dérivation. Le terme proportionnel apporte la rapidité, le terme intégral élimine l'erreur en régime permanent et le terme dérivé atténue les oscillations. Sa structure est simple, et elle est utilisée dans la plupart des boucles de régulation industrielles, pour la température, les moteurs, les alimentations, les procédés chimiques, etc.

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