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Qu'est-ce que Transformée en z ?

Méthode qui convertit un signal à temps discret x[n] en une fonction du nombre complexe z, X(z) = Σx[n]z^(−n). Un retard d'un échantillon correspond à une multiplication par z⁻¹ : une équation aux différences peut donc être traitée comme une fraction rationnelle en z (la fonction de transfert H(z)). Les valeurs de z qui annulent le dénominateur de H(z) s'appellent des pôles, et celles qui annulent le numérateur des zéros ; un système causal est stable lorsque tous ses pôles sont à l'intérieur du cercle unité. L'évaluation sur le cercle unité, avec z = e^(jω), donne la réponse en fréquence. C'est l'équivalent en temps discret de la transformée de Laplace.

Nom japonais: z変換

« Transformée en z » apparaît dans 1 questions d'entraînement réparties sur 1 thèmes, dont Bases du traitement numérique du signal.

Domaine: Bases du traitement numérique du signal

De l'équation aux différences à la fonction de transfert

Par exemple, appliquer la transformée en z aux deux membres de y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] donne Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z), qui se réarrange en H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Le numérateur représente le côté de l'entrée et le dénominateur la rétroaction de la sortie : on passe de la structure du filtre à la fonction de transfert, et inversement, simplement en lisant les coefficients.

Pôles, zéros et réponse en fréquence

Le module du gain à une fréquence donnée est proportionnel au produit des distances entre le point e^(jω) du cercle unité et chaque zéro, divisé par le produit des distances à chaque pôle. Un zéro situé sur le cercle unité annule donc le gain à cette fréquence (une encoche, ou notch), et un pôle proche du cercle unité fait fortement monter le gain au voisinage de cette fréquence. La disposition des pôles et des zéros suffit à donner l'allure générale de la réponse d'un filtre.

Juger de la stabilité

La réponse impulsionnelle d'un système causal contient, pour chaque pôle p, une composante de la forme pⁿ, qui diminue avec le temps si |p| < 1 et ne cesse de croître si |p| > 1. La stabilité exige que tous les pôles soient à l'intérieur du cercle unité ; un système qui a un pôle sur le cercle unité (comme un accumulateur, en z = 1) n'est pas stable au sens BIBO, car une entrée bornée peut faire croître sa sortie sans limite.

S'entraîner : questions sur Transformée en z

Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?

  1. A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
  2. B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
  3. C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)
Afficher la réponse et l'explication

Réponse : C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Un retard d'un échantillon correspond, dans la transformée en z, à une multiplication par z⁻¹ : en transformant les deux membres, on obtient Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). En regroupant les termes en Y(z) à gauche, on obtient (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), donc H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Le numérateur contient les coefficients du côté de l'entrée et le dénominateur ceux de la rétroaction de la sortie ; z = 0,25, qui annule le dénominateur, est un pôle, et z = −0,5, qui annule le numérateur, est un zéro.

Questions fréquentes

Quel lien y a-t-il entre la transformée en z et la transformée de Fourier ?

En posant z = e^(jω) (sur le cercle unité) dans la transformée en z, on obtient la transformée de Fourier à temps discret (TFTD, ou DTFT). En considérant z plus largement, à l'intérieur comme à l'extérieur du cercle unité, la transformée en z permet de discuter de la stabilité et de la réponse en fréquence à partir de la position des pôles et des zéros. La DFT d'un signal de longueur finie correspond à la DTFT évaluée en N points régulièrement espacés sur le cercle unité.

Pourquoi z⁻¹ signifie-t-il « un retard d'un échantillon » ?

La transformée en z de x[n − 1] est Σx[n − 1]z^(−n), et la substitution m = n − 1 la transforme en z⁻¹Σx[m]z^(−m) = z⁻¹X(z). C'est pourquoi un élément de retard s'écrit « z⁻¹ » dans les schémas fonctionnels, et un filtre numérique se représente comme une combinaison de multiplications, d'additions et de z⁻¹.

« Transformée en z » dans les explications

Questions mentionnant « Transformée en z » (1)

  1. Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?

Termes associés

Équation aux différences Convolution Décimation Filtre à moyenne mobile Filtre FIR Filtre IIR Fonction de fenêtrage Fuite spectrale Phase linéaire Réponse impulsionnelle

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