Conversion entre résistivité et concentration de dopants du silicium
Déterminez la concentration de dopants à partir de la résistivité indiquée dans la spécification d’une plaquette, ou la résistivité à partir de la concentration. Le calcul tient compte de la baisse de mobilité quand le dopage augmente, pour le type n (phosphore, arsenic) et le type p (bore).
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Résultats
Saisissez une valeur positive correspondant à une concentration comprise entre 1e10 et 1e21 cm⁻³.
Concentration de dopants N
–
Résistivité ρ
–
Mobilité des porteurs majoritaires μ
–
Conductivité σ = 1/ρ
–
Les deux axes sont logarithmiques. Le trait plein correspond au type de conductivité choisi, le trait en pointillés à l’autre type. Le point rouge indique la valeur actuelle (affichage entre 10¹³ et 10¹⁹ cm⁻³).
Calcul à 300 K, avec des dopants entièrement ionisés et sans contribution des porteurs minoritaires. La mobilité suit le modèle de Caughey–Thomas μ = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α), avec des paramètres d’ajustement représentatifs couramment utilisés dans les manuels (électrons : μmax 1414, μmin 68,5 cm²/V·s, Nref 9,2×10¹⁶ cm⁻³, α 0,711 ; trous : 470,5, 44,9, 2,23×10¹⁷, 0,719). La compensation (présence simultanée de donneurs et d’accepteurs) et l’ionisation incomplète au-delà de 10¹⁹ cm⁻³ ne sont pas prises en compte.
Voir sous forme de graphique
Les autres entrées gardent leur valeur actuelle tandis que l'entrée choisie varie de 1/4 à 4 fois sa valeur actuelle. Le point rouge est la valeur actuelle.
Relation entre résistivité et concentration de dopants
La conductivité d’un semi-conducteur est le produit du nombre de porteurs par leur mobilité : σ = q(nμn + pμp). Dans un matériau de type n dont les donneurs sont tous ionisés, n ≈ ND et la contribution des porteurs minoritaires est négligeable, d’où ρ = 1/(q·ND·μn). De même, pour le type p, ρ = 1/(q·NA·μp). Mais la mobilité μ dépend elle-même de la concentration, si bien que concentration et résistivité ne sont pas simplement inversement proportionnelles. Cet outil calcule la mobilité avec le modèle de Caughey–Thomas μ(N) = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α) et, pour passer de la résistivité à la concentration, résout numériquement cette équation en N.
Hypothèses et domaine de validité
On considère du silicium à 300 K contenant un seul type de dopant, entièrement ionisé, sans contribution des porteurs minoritaires. Le domaine d’utilisation indicatif va de 10¹³ à 10¹⁹ cm⁻³. Dans un cristal compensé contenant à la fois des donneurs et des accepteurs, le nombre de porteurs est fixé par la concentration nette, tandis que la diffusion des porteurs dépend de la concentration totale des deux ; la résistivité est alors plus élevée que celle donnée par cet outil. Au-delà de 10¹⁹ cm⁻³, l’ionisation incomplète et le rétrécissement de la bande interdite interviennent, et l’écart avec les tables de conversion établies à partir de mesures augmente.
Exemple de calcul
Avec les valeurs par défaut (type p, NA = 10¹⁵ cm⁻³), la mobilité des trous vaut environ 462 cm²/V·s et ρ = 1/(1,602×10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 462) ≈ 13,5 Ω·cm. À la même concentration en type n, la mobilité des électrons, environ 1362 cm²/V·s, est près de trois fois plus grande, d’où ρ ≈ 4,58 Ω·cm. Inversement, une plaquette spécifiée « type p, 10 Ω·cm » correspond à environ 1,36×10¹⁵ cm⁻³, et « type n, 1 Ω·cm » à environ 4,9×10¹⁵ cm⁻³. Si l’on multiplie la concentration par 100 pour atteindre 10¹⁷ cm⁻³, la résistivité du type p tombe à environ 0,197 Ω·cm et non au centième, 0,135 Ω·cm : la diffusion coulombienne par les dopants abaisse la mobilité à environ 317 cm²/V·s.
Valeurs utilisées et type de sources
Les coefficients du modèle de mobilité sont des paramètres d’ajustement représentatifs sur les mobilités mesurées dans le silicium, largement utilisés dans les manuels et ouvrages sur les composants à semi-conducteurs. La charge élémentaire vaut q = 1,602×10⁻¹⁹ C. Pour les plaquettes réelles, on mesure généralement la résistivité, par exemple par la méthode des quatre pointes, puis on la convertit en concentration à l’aide d’une norme de conversion telle que SEMI MF723 (anciennement ASTM F723). Utilisez les résultats de cet outil comme ordre de grandeur et vérifiez-les avec une norme de conversion ou une mesure lorsque vous avez besoin de valeurs exactes.
La conductivité vaut σ = qnμ = 1,6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁶ × 1000 = 1,6 S/cm, et la résistivité, son inverse, ρ ≈ 0,63 Ω·cm. « ρ ≈ 1/(qnμ) » est la formule de base pour estimer la concentration de dopants à partir de la résistivité d'une plaquette. En pratique, on utilise des tables de conversion incluant la dépendance de la mobilité à la concentration (normes ASTM, etc.) ; par exemple, une plaquette de type p de 1 à 10 Ω·cm correspond à du bore d'environ 10¹⁵ à 10¹⁶ cm⁻³.
APlus la concentration de dopant est élevée, plus la résistivité est élevée
BLa concentration de dopant et la résistivité sont indépendantes
CPlus la concentration de dopant est élevée, plus la résistivité est faible
Afficher la réponse et l'explication
Réponse : C. Plus la concentration de dopant est élevée, plus la résistivité est faible
Un dopage plus important augmente le nombre de porteurs et diminue la résistivité ; c'est pourquoi la résistivité du wafer est spécifiée comme indicateur de la concentration de dopant. Par exemple, en type p, 1 à 10 Ω·cm correspond à du bore d'environ 10¹⁵ à 10¹⁶ cm⁻³, et 0,01 Ω·cm à environ 10¹⁹ cm⁻³. À forte concentration, la mobilité diminue en raison de la diffusion par les impuretés ionisées ; la relation n'est donc pas simplement inversement proportionnelle, et la conversion se fait au moyen de tables comme celles de l'ASTM.
ALa résistivité diminue quand la température augmente
BLa résistivité augmente quand la température augmente
CLa résistivité est constante quelle que soit la température
Afficher la réponse et l'explication
Réponse : A. La résistivité diminue quand la température augmente
Dans un semi-conducteur intrinsèque, le nombre de porteurs excités à travers la bande interdite croît exponentiellement avec la température, d'où une baisse de la résistivité (coefficient de température négatif). Dans un métal, le nombre de porteurs est presque constant et la diffusion par les vibrations du réseau augmente, d'où une hausse de la résistivité. La thermistance (NTC) exploite cette propriété. Toutefois, dans le silicium dopé, le nombre de porteurs étant presque constant au voisinage de la température ambiante, il existe une plage où la résistance augmente plutôt, par baisse de la mobilité.
L'application d'un champ magnétique alternatif induit dans le wafer des courants de Foucault dont l'intensité dépend de la conductivité (résistance carrée). Leur détection par une bobine permet de mesurer la résistivité sans toucher le wafer. Contrairement à la méthode des quatre pointes, elle n'endommage pas la surface et n'apporte aucune contamination ; elle est utilisée pour le contrôle de réception des wafers et la mesure de l'épaisseur des couches métalliques (déduite de la résistance carrée). Une cartographie permet aussi d'évaluer la distribution sur le wafer.
Questions fréquentes
Pourquoi la résistivité diffère-t-elle entre type n et type p à concentration égale ?
Parce que, dans le silicium, la mobilité des électrons est environ trois fois celle des trous. À faible dopage, elle vaut environ 1400 cm²/V·s pour les électrons et 470 cm²/V·s pour les trous : à concentration égale, la résistivité du type n est donc environ le tiers de celle du type p.
Pour multiplier la résistivité par 10, suffit-il de diviser la concentration par 10 ?
À faible concentration, jusqu’à environ 10¹⁵ cm⁻³, la mobilité est presque constante et un facteur 10 suffit à peu près. À forte concentration, baisser la concentration augmente la mobilité, ce qui freine la hausse de la résistivité : il faut alors diviser la concentration par plus de 10. Observez le changement de pente sur le graphique.
Peut-on s’en servir pour déduire la concentration à partir de la résistivité d’une plaquette réelle ?
Oui, comme ordre de grandeur. Mais la compensation par la présence simultanée de donneurs et d’accepteurs, ou les donneurs thermiques qui apparaissent lorsqu’on recuit du silicium CZ vers 450 °C, modifient la relation entre résistivité et concentration. Vérifiez les valeurs exactes avec une norme de conversion ou une mesure de concentration comme le SIMS.
