Nederlands
Menu

Wat is Z-transformatie?

Methode die een discrete-tijdsignaal x[n] omzet in een functie van het complexe getal z, X(z) = Σx[n]z^(−n). Een vertraging van één sample komt overeen met vermenigvuldigen met z⁻¹, zodat een differentievergelijking kan worden behandeld als een breuk van polynomen in z (de overdrachtsfunctie H(z)). Waarden van z waarvoor de noemer van H(z) nul wordt, heten polen, en waarden waarvoor de teller nul wordt, nulpunten; een causaal systeem is stabiel als alle polen binnen de eenheidscirkel liggen. Evalueren op de eenheidscirkel met z = e^(jω) geeft de frequentierespons. Het is de tegenhanger in discrete tijd van de laplacetransformatie.

Japanse benaming: z変換

“Z-transformatie” komt voor in 1 oefenvragen uit 1 onderwerpen, bijv. Basis van digitale signaalverwerking.

Vakgebied: Basis van digitale signaalverwerking

Van differentievergelijking naar overdrachtsfunctie

Past men bijvoorbeeld de z-transformatie toe op beide leden van y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1], dan krijgt men Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z), wat herschreven wordt tot H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). De teller staat voor de ingangskant en de noemer voor de terugkoppeling van de uitgang, zodat de filterstructuur en de overdrachtsfunctie in elkaar kunnen worden omgezet door alleen de coëfficiënten af te lezen.

Polen, nulpunten en frequentierespons

De grootte van de versterking bij een gegeven frequentie is evenredig met het product van de afstanden van het punt e^(jω) op de eenheidscirkel tot elk nulpunt, gedeeld door het product van de afstanden tot elke pool. Een nulpunt op de eenheidscirkel maakt de versterking bij die frequentie daarom nul (een notch), en een pool dicht bij de eenheidscirkel laat de versterking rond die frequentie sterk stijgen. De globale vorm van een filterkarakteristiek is al te zien aan de ligging van de polen en nulpunten.

Stabiliteit beoordelen

De impulsrespons van een causaal systeem bevat voor elke pool p een component van de vorm pⁿ, die met de tijd kleiner wordt als |p| < 1 en blijft groeien als |p| > 1. Stabiliteit vereist dat alle polen binnen de eenheidscirkel liggen; een systeem met een pool op de eenheidscirkel (zoals een accumulator, bij z = 1) is niet BIBO-stabiel, omdat een begrensde ingang de uitgang onbegrensd kan laten groeien.

Nu oefenen: vragen over Z-transformatie

Wat is de overdrachtsfunctie H(z) = Y(z)/X(z) van het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1]?

  1. A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
  2. B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
  3. C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Een vertraging van één sample komt bij de z-transformatie overeen met vermenigvuldigen met z⁻¹, dus de z-transformatie van beide leden geeft Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). De termen met Y(z) links verzamelen geeft (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), dus H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). De teller bevat de coëfficiënten aan de ingangskant en de noemer die van de terugkoppeling van de uitgang; z = 0,25, waarvoor de noemer 0 wordt, is een pool, en z = −0,5, waarvoor de teller 0 wordt, is een nulpunt.

Veelgestelde vragen

Hoe hangt de z-transformatie samen met de fouriertransformatie?

Stelt men in de z-transformatie z = e^(jω) (op de eenheidscirkel), dan krijgt men de discrete-tijdfouriertransformatie (DTFT). Door z ruimer te bekijken, ook binnen en buiten de eenheidscirkel, maakt de z-transformatie het mogelijk stabiliteit en frequentiegedrag te bespreken aan de hand van de ligging van polen en nulpunten. De DFT van een signaal van eindige lengte komt overeen met de DTFT, geëvalueerd in N gelijk verdeelde punten op de eenheidscirkel.

Waarom betekent z⁻¹ „een vertraging van één sample”?

De z-transformatie van x[n − 1] is Σx[n − 1]z^(−n), en de substitutie m = n − 1 maakt daar z⁻¹Σx[m]z^(−m) = z⁻¹X(z) van. Daarom wordt een vertragingselement in blokschema's als „z⁻¹” geschreven, en wordt een digitaal filter weergegeven als een combinatie van vermenigvuldigingen, optellingen en z⁻¹.

“Z-transformatie” in de toelichting

Vragen met “Z-transformatie” (1)

  1. Wat is de overdrachtsfunctie H(z) = Y(z)/X(z) van het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1]?

Verwante termen

Differentievergelijking Convolutie Decimatie Discrete fouriertransformatie FIR-filter Frequentieresolutie Groepsvertraging (group delay) IIR-filter Impulsrespons Lineaire fase

Naar de woordenlijst