Nederlands
Menu

Wat is Tweede-ordesysteem?

Systeem waarvan de overdrachtsfunctie G(s) = Kωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) is, waarbij ωn de eigenhoekfrequentie en ζ de dempingsverhouding is. Voor 0 < ζ < 1 nadert de staprespons de eindwaarde al oscillerend, voor ζ = 1 komt ze het snelst tot rust zonder doorschot, en voor ζ > 1 nadert ze langzaam. Mechanische veer-massa-dempersystemen, RLC-schakelingen en positieregellussen hebben deze vorm. Ook systemen van hogere orde worden vaak benaderd met hun twee dominante polen.

Japanse benaming: 二次遅れ系

“Tweede-ordesysteem” komt voor in 4 oefenvragen uit 1 onderwerpen, bijv. Basis van regeltechniek.

Vakgebied: Basis van regeltechniek

Dempingsverhouding en de vorm van de respons

De doorschot is exp(−πζ/√(1 − ζ²)) en hangt alleen van ζ af: ongeveer 16% bij ζ = 0,5 en ongeveer 4,3% bij ζ ≈ 0,707 (1/√2). Het voorbijschieten is maximaal op π/ωd, waarbij ωd = ωn√(1 − ζ²) de hoekfrequentie van de uitdovende oscillatie is. Hoe kleiner ζ, hoe sneller de respons stijgt, maar hoe groter het voorbijschieten en de oscillatie.

Verband met de ligging van de polen

Voor 0 < ζ < 1 liggen de polen op s = −ζωn ± jωd, op een afstand ωn van de oorsprong, en de hoek θ die ze met de negatieve reële as maken, voldoet aan cos θ = ζ. Het reële deel ζωn bepaalt hoe snel de respons uitdooft, en de uitregeltijd binnen ±2% wordt geschat op ongeveer 4/(ζωn). Deze formule is een benadering die is afgeleid uit de omhullende van de oscillatie, en de werkelijke waarde is vaak iets korter.

Gezien in de frequentierespons

In een bodediagram, met ωn als knikpunt, daalt de versterking bij hoge frequenties met −40 dB/dec en verandert de fase van 0° naar −180°. Is ζ kleiner dan ongeveer 0,707, dan verschijnt bij ωn een resonantiepiek in de versterking. In een systeem met terugkoppeling geldt: hoe kleiner de fasemarge, hoe kleiner de ζ van de gesloten lus; als vuistregel is ζ ongeveer 1/100 van de fasemarge in graden.

Nu oefenen: vragen over Tweede-ordesysteem

Voor welk bereik van de dempingsverhouding ζ schiet de staprespons van het tweede-ordesysteem G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) voorbij de eindwaarde en nadert ze die al oscillerend?

  1. Aζ > 1
  2. Bζ = 1
  3. C0 < ζ < 1
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. 0 < ζ < 1

Voor 0 < ζ < 1 vormen de polen een complex toegevoegd paar en nadert de respons de eindwaarde al oscillerend (ondergedempt). Voor ζ = 1 vallen de polen samen in een dubbele negatieve reële wortel en komt de respons het snelst tot rust van alle responsen zonder voorbijschieten (kritisch gedempt). Voor ζ > 1 zijn de polen twee negatieve reële getallen en nadert de respons de eindwaarde langzaam, zonder voorbijschieten (overgedempt). Voor ζ = 0 houdt de oscillatie aan zonder uit te doven, en voor ζ < 0 is het systeem instabiel.

Welke combinatie van eigenhoekfrequentie ωn en dempingsverhouding ζ is juist voor het tweede-ordesysteem met de overdrachtsfunctie G(s) = 25/(s² + 4s + 25)?

  1. Aωn = 5 rad/s, ζ = 0,4
  2. Bωn = 5 rad/s, ζ = 0,8
  3. Cωn = 25 rad/s, ζ = 0,08
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: A. ωn = 5 rad/s, ζ = 0,4

Vergelijking met de standaardvorm ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) geeft uit ωn² = 25 dat ωn = 5 rad/s. De coëfficiënt van s is 2ζωn = 4, dus ζ = 4/(2 × 5) = 0,4. De polen liggen op s = −2 ± j4,58; het reële deel −ζωn = −2 bepaalt hoe snel de respons uitdooft en het imaginaire deel ωn√(1 − ζ²) ≈ 4,58 rad/s is de hoekfrequentie van de oscillatie.

Veelgestelde vragen

Welke dempingsverhouding moet een ontwerp nastreven?

Voor een snelle respons met een beetje voorbijschieten kiest men vaak ζ = 0,5 tot 0,8. ζ ≈ 0,707 geeft een doorschot van ongeveer 4,3% en is ook de grens waaronder een resonantiepiek in de frequentierespons verschijnt. Waar voorbijschieten niet is toegestaan, wordt ontworpen op ζ ≥ 1.

Kunnen de formules voor tweede-ordesystemen worden gebruikt voor systemen van de derde en hogere orde?

Zijn de twee polen het dichtst bij de imaginaire as (de dominante polen) veel trager dan de andere, dan kan de respons worden geschat door met die twee polen te benaderen. Liggen andere polen of nulpunten dichtbij, dan wordt de fout groter, dus een controle met een numerieke berekening is de veilige aanpak.

“Tweede-ordesysteem” in de toelichting

Vragen met “Tweede-ordesysteem” (4)

  1. Voor welk bereik van de dempingsverhouding ζ schiet de staprespons van het tweede-ordesysteem G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) voorbij de eindwaarde en nadert ze die al oscillerend?
  2. Welke combinatie van eigenhoekfrequentie ωn en dempingsverhouding ζ is juist voor het tweede-ordesysteem met de overdrachtsfunctie G(s) = 25/(s² + 4s + 25)?
  3. Op een tweede-ordesysteem (standaardvorm zonder nulpunten) met dempingsverhouding ζ = 0,5 wordt een stap aangelegd. Welke waarde ligt het dichtst bij de doorschot (de grootste uitslag voorbij de eindwaarde, als fractie van de eindwaarde)?
  4. Een tweede-ordesysteem zonder nulpunten heeft zijn polen op s = −σ ± jωd. Welke beschrijving van de verandering van de staprespons is juist als alleen ωd groter wordt gemaakt en σ gelijk blijft?

Verwante termen

Doorschot (overshoot) Overdrachtsfunctie Uitregeltijd (settling time) Blijvende regelafwijking (steady-state error) Blokschema Bodediagram Eerste-ordesysteem Feedforwardregeling Integrator-windup (integral windup) Laplacetransformatie

Naar de woordenlijst