Nederlands
Menu

Wat is Laplacetransformatie?

Methode die een functie van de tijd f(t) (t ≥ 0) omzet in een functie van de complexe variabele s, F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(−st) dt. Met beginwaarden 0 komt differentiëren overeen met vermenigvuldigen met s en integreren met delen door s, zodat lineaire differentiaalvergelijkingen als algebraïsche uitdrukkingen in s kunnen worden behandeld. Het is het basisgereedschap om in de regeltechniek overdrachtsfuncties te bepalen, en voor discrete-tijdsystemen speelt de z-transformatie dezelfde rol. Een eenheidsstap wordt getransformeerd naar 1/s en e^(−at) naar 1/(s + a).

Japanse benaming: ラプラス変換

“Laplacetransformatie” komt voor in 3 oefenvragen uit 2 onderwerpen, bijv. Basis van regeltechniek, Basis van digitale signaalverwerking.

Vakgebied: Basis van regeltechniek

Veelgebruikte transformatieparen

Een eenheidsimpuls δ(t) wordt 1, een eenheidsstap 1/s, een ramp t 1/s², e^(−at) 1/(s + a) en sin ωt ω/(s² + ω²). Een vertraging in de tijd met L vermenigvuldigt met e^(−Ls), en vermenigvuldigen met e^(−at) vervangt s door s + a. Door deze paren te combineren met splitsing in partiële breuken kunnen veel responsen met een tabel worden terugtransformeerd.

De eindwaardestelling en de beginwaardestelling

De eindwaarde van een uitgang kan worden bepaald als lim[t→∞] f(t) = lim[s→0] sF(s), maar alleen als alle polen van sF(s) in de linkerhelft van het s-vlak liggen. De eindwaarde van de staprespons van een systeem met overdrachtsfunctie G(s) is bijvoorbeeld G(0), de statische versterking (DC-versterking). De beginwaarde wordt bepaald als lim[t→+0] f(t) = lim[s→∞] sF(s).

Verband met de fouriertransformatie en de z-transformatie

De laplacetransformatie evalueren op de imaginaire as s = jω geeft de fouriertransformatie (de frequentierespons). Voor bemonsterde signalen speelt de z-transformatie met z = e^(sT) dezelfde rol, en de linkerhelft van het s-vlak komt overeen met het inwendige van de eenheidscirkel in het z-vlak. De regel in continue tijd „stabiel als alle polen een negatief reëel deel hebben” wordt in discrete tijd daarom „stabiel als alle polen binnen de eenheidscirkel liggen”.

Nu oefenen: vragen over Laplacetransformatie

Welke combinatie van bewerkingen geeft, met alle beginwaarden gelijk aan 0, differentiëren en integreren van een tijdfunctie weer in het s-domein na de laplacetransformatie?

  1. ADifferentiëren is vermenigvuldigen met s, integreren is delen door s
  2. BDifferentiëren is delen door s, integreren is vermenigvuldigen met s
  3. CDifferentiëren is s optellen, integreren is s aftrekken
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: A. Differentiëren is vermenigvuldigen met s, integreren is delen door s

Bij de laplacetransformatie komt de afgeleide van f(t) overeen met sF(s) − f(0) en de integraal met F(s)/s. Met beginwaarden 0 wordt differentiëren dus vermenigvuldigen met s en integreren delen door s, zodat een differentiaalvergelijking verandert in rekenen met veeltermen in s. De vergelijking van een RC-schakeling RC·dv/dt + v = vin wordt bijvoorbeeld (RCs + 1)V(s) = Vin(s), wat de overdrachtsfunctie 1/(1 + RCs) oplevert. De eenheidsstapfunctie wordt getransformeerd naar 1/s en e^(−at) naar 1/(s + a).

Veelgestelde vragen

Waarom wordt de laplacetransformatie in de regeltechniek gebruikt?

Omdat ze differentiaalvergelijkingen omzet in algebraïsche uitdrukkingen, zodat de overdrachtsfunctie van een systeem van gekoppelde elementen met vermenigvuldigen en delen kan worden opgebouwd. De ligging van de polen toont bovendien de stabiliteit en de snelheid van de respons.

Wat gebeurt er als de beginwaarden niet 0 zijn?

De transformatie van een afgeleide wordt sF(s) − f(0), en er blijft een term met de beginwaarde over. Overdrachtsfuncties worden gedefinieerd met beginwaarden 0, dus de respons door de beginwaarden wordt apart beschouwd en opgeteld.

“Laplacetransformatie” in de toelichting

Vragen met “Laplacetransformatie” (3)

  1. Welke combinatie van bewerkingen geeft, met alle beginwaarden gelijk aan 0, differentiëren en integreren van een tijdfunctie weer in het s-domein na de laplacetransformatie?
  2. Langs welke weg wordt z gevarieerd als de frequentierespons van een discreet-tijd-LTI-systeem wordt bepaald uit de overdrachtsfunctie H(z)?
  3. Welke beschrijving van de overdrachtsfunctie van een lineair tijdinvariant systeem is juist?

Verwante termen

Overdrachtsfunctie Nyquistfrequentie Impulsrespons Z-transformatie Blijvende regelafwijking (steady-state error) Blokschema Bodediagram Doorschot (overshoot) Eerste-ordesysteem Feedforwardregeling

Naar de woordenlijst