Nederlands
Menu

Wat is Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz?

Methode die alleen uit de coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking, zonder die op te lossen, beslist of alle wortels ervan (de polen van de gesloten lus) in de linkerhelft van het s-vlak liggen. Een nodige voorwaarde is dat alle coëfficiënten hetzelfde teken hebben en er geen term ontbreekt; daarnaast is het systeem stabiel als de eerste kolom van de routhtabel overal hetzelfde teken heeft, en het aantal tekenwisselingen is gelijk aan het aantal wortels in de rechterhelft van het vlak. Een derdegraadsvergelijking s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 is stabiel als alle coëfficiënten positief zijn en a₂a₁ > a₀. De methode wordt gebruikt om het bereik van een versterking te vinden waarbinnen een systeem stabiel is. De methode van Routh en die van Hurwitz geven dezelfde voorwaarden.

Japanse benaming: ラウス・フルビッツの安定判別法

“Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz” komt voor in 2 oefenvragen uit 1 onderwerpen, bijv. Basis van regeltechniek.

Vakgebied: Basis van regeltechniek

Nu oefenen: vragen over Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz

Een systeem met eenheidsterugkoppeling heeft de lusoverdrachtsfunctie K/(s(s + 1)(s + 2)). Voor welk bereik van K is het gesloten-lussysteem stabiel?

  1. A0 < K < 2
  2. B0 < K < 3
  3. C0 < K < 6
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. 0 < K < 6

De karakteristieke vergelijking is s(s + 1)(s + 2) + K = s³ + 3s² + 2s + K = 0. Volgens het stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz is een derdegraadsvergelijking s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 stabiel als alle coëfficiënten positief zijn en a₂a₁ > a₀, dus 3 × 2 > K, oftewel 0 < K < 6. Bij K = 6 verschuiven de polen naar s = ±j√2 en ontstaat een aanhoudende oscillatie met een hoekfrequentie van ongeveer 1,41 rad/s (een periode van ongeveer 4,4 s). Voor grotere K blijft de oscillatie groeien.

Welke waarde ligt het dichtst bij de versterkingsmarge van de lusoverdrachtsfunctie L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2))?

  1. AOngeveer 4,8 dB
  2. BOngeveer 9,5 dB
  3. COngeveer 15,6 dB
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: B. Ongeveer 9,5 dB

De fase is −90° − tan⁻¹ω − tan⁻¹(ω/2); de twee hoeken zijn samen 90° als ω × (ω/2) = 1, dus de fase bereikt −180° bij ω = √2 rad/s. De versterking is daar |L(j√2)| = 2/(√2 × √3 × √6) = 1/3, dus de versterkingsmarge is 20 log₁₀3 ≈ 9,5 dB. Met een driemaal zo grote versterking (K = 6) wordt de grens bereikt, wat overeenkomt met het stabiele bereik 0 < K < 6 dat met het stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz werd gevonden.

“Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz” in de toelichting

Vragen met “Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz” (2)

  1. Een systeem met eenheidsterugkoppeling heeft de lusoverdrachtsfunctie K/(s(s + 1)(s + 2)). Voor welk bereik van K is het gesloten-lussysteem stabiel?
  2. Welke waarde ligt het dichtst bij de versterkingsmarge van de lusoverdrachtsfunctie L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2))?

Verwante termen

Overdrachtsfunctie Versterkingsmarge (gain margin) Blijvende regelafwijking (steady-state error) Blokschema Bodediagram Doorschot (overshoot) Eerste-ordesysteem Feedforwardregeling Integrator-windup (integral windup) Laplacetransformatie

Naar de woordenlijst