Was ist Laplace-Transformation?
Verfahren, das eine Zeitfunktion f(t) (t ≥ 0) in eine Funktion der komplexen Variablen s überführt: F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(−st) dt. Bei Anfangswerten 0 entspricht Differentiation der Multiplikation mit s und Integration der Division durch s, sodass lineare Differentialgleichungen als algebraische Ausdrücke in s behandelt werden können. Sie ist das grundlegende Werkzeug zur Bestimmung von Übertragungsfunktionen in der Regelungstechnik; bei zeitdiskreten Systemen spielt die z-Transformation dieselbe Rolle. Ein Einheitssprung wird zu 1/s und e^(−at) zu 1/(s + a).
Japanische Bezeichnung: ラプラス変換
„Laplace-Transformation“ kommt in 3 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Grundlagen der Regelungstechnik, Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung.
Fachgebiet: Grundlagen der Regelungstechnik
Häufig verwendete Transformationspaare
Ein Einheitsimpuls δ(t) wird zu 1, ein Einheitssprung zu 1/s, eine Rampe t zu 1/s², e^(−at) zu 1/(s + a) und sin ωt zu ω/(s² + ω²). Eine zeitliche Verzögerung um L entspricht der Multiplikation mit e^(−Ls), und die Multiplikation mit e^(−at) ersetzt s durch s + a. Kombiniert man diese Paare mit der Partialbruchzerlegung, lassen sich viele Antworten mithilfe einer Tabelle zurücktransformieren.
Häufige Fragen
Warum wird in der Regelungstechnik die Laplace-Transformation verwendet?
Weil sie Differentialgleichungen in algebraische Ausdrücke verwandelt, sodass sich die Übertragungsfunktion eines Systems aus verbundenen Gliedern durch Multiplikation und Division aufbauen lässt. Aus der Lage der Pole lassen sich außerdem Stabilität und Antwortgeschwindigkeit ablesen.
Was passiert, wenn die Anfangswerte nicht 0 sind?
Die Transformierte einer Ableitung wird zu sF(s) − f(0), und ein Anfangswertterm bleibt stehen. Übertragungsfunktionen sind für Anfangswerte 0 definiert, daher wird die Antwort aufgrund der Anfangswerte getrennt betrachtet und addiert.