Was ist Routh-Hurwitz-Kriterium?

Verfahren, das allein aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung, ohne sie zu lösen, entscheidet, ob alle ihre Wurzeln (die Pole des geschlossenen Kreises) in der linken Hälfte der s-Ebene liegen. Notwendig ist, dass alle Koeffizienten dasselbe Vorzeichen haben und kein Glied fehlt; außerdem ist das System stabil, wenn die erste Spalte des Routh-Schemas durchgehend dasselbe Vorzeichen hat, und die Zahl der Vorzeichenwechsel ist gleich der Zahl der Wurzeln in der rechten Halbebene. Eine kubische Gleichung s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 ist stabil, wenn alle Koeffizienten positiv sind und a₂a₁ > a₀ gilt. Mit dem Kriterium bestimmt man den Bereich einer Verstärkung, in dem ein System stabil ist. Das Verfahren von Routh und das von Hurwitz liefern dieselben Bedingungen.

Japanische Bezeichnung: ラウス・フルビッツの安定判別法

„Routh-Hurwitz-Kriterium“ kommt in 2 Übungsfragen aus 1 Themen vor, z. B. Grundlagen der Regelungstechnik.

Fachgebiet: Grundlagen der Regelungstechnik

Jetzt üben: Fragen zu Routh-Hurwitz-Kriterium

Ein System mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises K/(s(s + 1)(s + 2)). Für welchen Bereich von K ist der geschlossene Kreis stabil?

A0 < K < 2
B0 < K < 3
C0 < K < 6

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Antwort: C. 0 < K < 6

Die charakteristische Gleichung lautet s(s + 1)(s + 2) + K = s³ + 3s² + 2s + K = 0. Nach dem Routh-Hurwitz-Kriterium ist eine kubische Gleichung s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 stabil, wenn alle Koeffizienten positiv sind und a₂a₁ > a₀ gilt; also 3 × 2 > K, d. h. 0 < K < 6. Bei K = 6 wandern die Pole nach s = ±j√2, und es entsteht eine Dauerschwingung mit einer Kreisfrequenz von etwa 1,41 rad/s (Periode etwa 4,4 s). Bei größerem K wächst die Schwingung immer weiter an.

Welcher Wert liegt der Amplitudenreserve der Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2)) am nächsten?

AEtwa 4,8 dB
BEtwa 9,5 dB
CEtwa 15,6 dB

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Antwort: B. Etwa 9,5 dB

Die Phase beträgt −90° − tan⁻¹ω − tan⁻¹(ω/2); die beiden Winkel ergeben zusammen 90°, wenn ω × (ω/2) = 1 gilt, daher erreicht die Phase bei ω = √2 rad/s den Wert −180°. Die Verstärkung beträgt dort |L(j√2)| = 2/(√2 × √3 × √6) = 1/3, die Amplitudenreserve also 20 log₁₀3 ≈ 9,5 dB. Eine Erhöhung der Verstärkung auf das 3-Fache (K = 6) erreicht demnach die Grenze, was mit dem nach dem Routh-Hurwitz-Kriterium ermittelten Stabilitätsbereich 0 < K < 6 übereinstimmt.

„Routh-Hurwitz-Kriterium“ in den Erläuterungen

Nach dem Routh-Hurwitz-Kriterium ist eine kubische Gleichung s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0 stabil, wenn alle Koeffizienten positiv sind und a₂a₁ > a₀ gilt; also 3 × 2 > K, d.
Ein System mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunk…
Eine Erhöhung der Verstärkung auf das 3-Fache (K = 6) erreicht demnach die Grenze, was mit dem nach dem Routh-Hurwitz-Kriterium ermittelten Stabilitätsbereich 0 < K < 6 übereinstimmt.
Welcher Wert liegt der Amplitudenreserve der Übertragungsfu…

Was ist Routh-Hurwitz-Kriterium?

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Ein System mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises K/(s(s + 1)(s + 2)). Für welchen Bereich von K ist der geschlossene Kreis stabil?

Welcher Wert liegt der Amplitudenreserve der Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2)) am nächsten?

„Routh-Hurwitz-Kriterium“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Routh-Hurwitz-Kriterium“ (2)

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