Was ist z-Transformation?
Verfahren, das ein zeitdiskretes Signal x[n] in eine Funktion der komplexen Zahl z umsetzt, X(z) = Σx[n]z^(−n). Eine Verzögerung um einen Abtastwert entspricht der Multiplikation mit z⁻¹, sodass sich eine Differenzengleichung als gebrochenrationale Funktion in z (Übertragungsfunktion H(z)) behandeln lässt. Werte von z, die den Nenner von H(z) zu null machen, heißen Pole, solche, die den Zähler zu null machen, Nullstellen; ein kausales System ist stabil, wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Die Auswertung auf dem Einheitskreis mit z = e^(jω) liefert den Frequenzgang. Sie ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplace-Transformation.
Japanische Bezeichnung: z変換
„z-Transformation“ kommt in 1 Übungsfragen aus 1 Themen vor, z. B. Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung.
Fachgebiet: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung
Von der Differenzengleichung zur Übertragungsfunktion
Wendet man zum Beispiel die z-Transformation auf beide Seiten von y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] an, erhält man Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z), umgeformt H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Der Zähler steht für die Eingangsseite, der Nenner für die Rückkopplung des Ausgangs; Filterstruktur und Übertragungsfunktion lassen sich also allein durch Ablesen der Koeffizienten ineinander überführen.
Häufige Fragen
Wie hängt die z-Transformation mit der Fourier-Transformation zusammen?
Setzt man in der z-Transformation z = e^(jω) (auf dem Einheitskreis), erhält man die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT). Indem sie z allgemeiner betrachtet, auch innerhalb und außerhalb des Einheitskreises, erlaubt die z-Transformation, Stabilität und Frequenzgang aus der Lage von Polen und Nullstellen zu beurteilen. Die DFT eines Signals endlicher Länge entspricht der DTFT, ausgewertet an N gleichabständigen Punkten auf dem Einheitskreis.
Warum bedeutet z⁻¹ „eine Verzögerung um einen Abtastwert“?
Die z-Transformation von x[n − 1] ist Σx[n − 1]z^(−n), und die Substitution m = n − 1 macht daraus z⁻¹Σx[m]z^(−m) = z⁻¹X(z). Deshalb wird ein Verzögerungsglied in Blockschaltbildern als „z⁻¹“ geschrieben, und ein digitales Filter wird als Kombination aus Multiplikationen, Additionen und z⁻¹ dargestellt.