Was ist PT2-Glied (Verzögerungsglied zweiter Ordnung)?

Q: Welchen Dämpfungsgrad sollte ein Entwurf anstreben?

Für eine schnelle Antwort mit wenig Überschwingen wird oft ζ = 0,5 bis 0,8 gewählt. ζ ≈ 0,707 ergibt ein Überschwingen von etwa 4,3 % und ist zugleich die Grenze, unterhalb derer im Frequenzgang eine Resonanzüberhöhung auftritt. Wo kein Überschwingen zulässig ist, legt man ζ ≥ 1 aus.

Q: Lassen sich die Formeln für PT2-Glieder auf Systeme dritter und höherer Ordnung anwenden?

Sind die beiden Pole, die der imaginären Achse am nächsten liegen (die dominanten Pole), viel langsamer als die übrigen, lässt sich die Antwort durch eine Näherung mit diesen beiden Polen abschätzen. Liegen weitere Pole oder Nullstellen in der Nähe, wächst der Fehler, daher ist eine Kontrolle mit einer numerischen Rechnung sicherer.

System mit der Übertragungsfunktion G(s) = Kωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²), wobei ωn die Eigenkreisfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad ist. Für 0 < ζ < 1 nähert sich die Sprungantwort dem Endwert schwingend an, für ζ = 1 kommt sie ohne Überschwingen am schnellsten zur Ruhe, und für ζ > 1 nähert sie sich langsam an. Mechanische Feder-Masse-Dämpfer-Systeme, RLC-Schaltungen und Lageregelkreise haben diese Form. Systeme höherer Ordnung werden ebenfalls oft durch ihre zwei dominanten Pole angenähert.

Japanische Bezeichnung: 二次遅れ系

„PT2-Glied (Verzögerungsglied zweiter Ordnung)“ kommt in 4 Übungsfragen aus 1 Themen vor, z. B. Grundlagen der Regelungstechnik.

Fachgebiet: Grundlagen der Regelungstechnik

Dämpfungsgrad und Form der Antwort

Das Überschwingen beträgt exp(−πζ/√(1 − ζ²)) und hängt nur von ζ ab: etwa 16 % bei ζ = 0,5 und etwa 4,3 % bei ζ ≈ 0,707 (1/√2). Die maximale Überschreitung tritt bei π/ωd auf, wobei ωd = ωn√(1 − ζ²) die Kreisfrequenz der abklingenden Schwingung ist. Je kleiner ζ, desto schneller steigt die Antwort an, desto größer werden aber Überschwingen und Schwingung.

Zusammenhang mit der Lage der Pole

Für 0 < ζ < 1 liegen die Pole bei s = −ζωn ± jωd im Abstand ωn vom Ursprung, und der Winkel θ zur negativen reellen Achse erfüllt cos θ = ζ. Der Realteil ζωn bestimmt die Abklinggeschwindigkeit, und die ±2-%-Ausregelzeit wird auf etwa 4/(ζωn) geschätzt. Diese Formel ist eine aus der Einhüllenden der Schwingung abgeleitete Näherung; der wahre Wert ist oft etwas kürzer.

Im Frequenzgang betrachtet

Im Bode-Diagramm fällt die Verstärkung oberhalb der Eckkreisfrequenz ωn mit −40 dB/Dekade, und die Phase geht von 0° auf −180°. Ist ζ kleiner als etwa 0,707, tritt nahe ωn eine Resonanzüberhöhung der Verstärkung auf. In einem rückgekoppelten System gilt: Je kleiner die Phasenreserve, desto kleiner das ζ des geschlossenen Kreises; als Faustregel beträgt ζ etwa 1/100 der Phasenreserve in Grad.

Jetzt üben: Fragen zu PT2-Glied (Verzögerungsglied zweiter Ordnung)

Für welchen Bereich des Dämpfungsgrads ζ schießt die Sprungantwort des PT2-Glieds G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) über den Endwert hinaus und nähert sich ihm schwingend an?

Aζ > 1
Bζ = 1
C0 < ζ < 1

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Antwort: C. 0 < ζ < 1

Für 0 < ζ < 1 bilden die Pole ein konjugiert komplexes Paar, und die Antwort nähert sich dem Endwert schwingend an (unterkritische Dämpfung). Für ζ = 1 bilden die Pole eine doppelte negative reelle Wurzel, und die Antwort kommt unter den Antworten, die nicht über den Endwert hinausschießen, am schnellsten zur Ruhe (aperiodischer Grenzfall). Für ζ > 1 sind die Pole zwei negative reelle Zahlen, und die Antwort nähert sich langsam an, ohne hinauszuschießen (überkritische Dämpfung). Für ζ = 0 hält die Schwingung ungedämpft an, und für ζ < 0 ist das System instabil.

Welches Paar aus Eigenkreisfrequenz ωn und Dämpfungsgrad ζ ist für das PT2-Glied mit der Übertragungsfunktion G(s) = 25/(s² + 4s + 25) richtig?

Aωn = 5 rad/s, ζ = 0,4
Bωn = 5 rad/s, ζ = 0,8
Cωn = 25 rad/s, ζ = 0,08

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Antwort: A. ωn = 5 rad/s, ζ = 0,4

Der Vergleich mit der Normalform ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) ergibt aus ωn² = 25 die Eigenkreisfrequenz ωn = 5 rad/s. Der Koeffizient von s ist 2ζωn = 4, also ζ = 4/(2 × 5) = 0,4. Die Pole liegen bei s = −2 ± j4,58; der Realteil −ζωn = −2 bestimmt die Abklinggeschwindigkeit und der Imaginärteil ωn√(1 − ζ²) ≈ 4,58 rad/s die Kreisfrequenz der Schwingung.

Häufige Fragen

Welchen Dämpfungsgrad sollte ein Entwurf anstreben?