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Was ist Impulsantwort?

Ausgang h[n] eines Systems, wenn der Einheitsimpuls δ[n] (1 nur bei n = 0, sonst 0) angelegt wird. Bei einem linearen zeitinvarianten (LTI) System ist der Ausgang für jeden Eingang die Faltung des Eingangs mit h[n], y[n] = Σx[k]h[n − k]; h[n] beschreibt das System daher vollständig. Ein Filter, dessen h[n] nach endlicher Länge endet, ist ein FIR-Filter, eines, dessen h[n] unendlich lange andauert, ein IIR-Filter. BIBO-Stabilität erfordert, dass Σ|h[n]| endlich ist, und die z-Transformation von h[n] ist die Übertragungsfunktion H(z).

Japanische Bezeichnung: インパルス応答

„Impulsantwort“ kommt in 5 Übungsfragen aus 1 Themen vor, z. B. Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung.

Fachgebiet: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Jetzt üben: Fragen zu Impulsantwort

u[n] sei der Einheitssprung. Welches der folgenden LTI-Systeme, gegeben durch seine Impulsantwort, ist BIBO-stabil (jeder beschränkte Eingang ergibt einen beschränkten Ausgang)?

  1. Ah[n] = (−0,9)ⁿu[n]
  2. Bh[n] = u[n]
  3. Ch[n] = (1,1)ⁿu[n]
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Antwort: A. h[n] = (−0,9)ⁿu[n]

Ein LTI-System ist genau dann BIBO-stabil, wenn die Summe der Beträge seiner Impulsantwort Σ|h[n]| endlich ist. Für h[n] = (−0,9)ⁿu[n] gilt Σ|h[n]| = Σ0,9ⁿ = 1/(1 − 0,9) = 10; das ist endlich, also ist das System stabil. h[n] = u[n] ist ein Akkumulator, der seinen Eingang fortlaufend aufsummiert; die Summe ist unendlich, und ein konstanter Eingang lässt den Ausgang unbegrenzt wachsen. (1,1)ⁿ wächst mit der Zeit, dieses System ist also instabil.

Die Folge x[n] = {1, 2, 3} (n = 0, 1, 2) wird auf ein LTI-System mit der Impulsantwort h[n] = {1, −1} (n = 0, 1) gegeben. Welche Ausgangswerte y[0] bis y[3] ergeben sich?

  1. A−1, −1, −1, 3
  2. B1, 3, 5, 3
  3. C1, 1, 1, −3
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Antwort: C. 1, 1, 1, −3

Für h[n] = {1, −1} wird die Faltung y[n] = Σx[k]h[n − k] zu y[n] = x[n] − x[n − 1], der Differenz zum vorherigen Eingang. Es ergeben sich y[0] = 1 − 0 = 1, y[1] = 2 − 1 = 1, y[2] = 3 − 2 = 1 und y[3] = 0 − 3 = −3. Die Länge des Ausgangs ist 3 + 2 − 1 = 4, aus der Eingangslänge 3 und der Länge 2 der Impulsantwort.

„Impulsantwort“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Impulsantwort“ (5)

  1. u[n] sei der Einheitssprung. Welches der folgenden LTI-Systeme, gegeben durch seine Impulsantwort, ist BIBO-stabil (jeder beschränkte Eingang ergibt einen beschränkten Ausgang)?
  2. Die Folge x[n] = {1, 2, 3} (n = 0, 1, 2) wird auf ein LTI-System mit der Impulsantwort h[n] = {1, −1} (n = 0, 1) gegeben. Welche Ausgangswerte y[0] bis y[3] ergeben sich?
  3. Auf das durch die Differenzengleichung y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1] beschriebene System wird ab n = 0 ein Einheitssprung (x[n] = 1 für n ≥ 0) gegeben. Welchen Wert hat y[2], wenn y[−1] = 0 ist?
  4. Welche Eigenschaft hat ein FIR-Filter (Filter mit endlicher Impulsantwort)?
  5. Welche Aussage über die bilineare Transformation, mit der aus der Übertragungsfunktion H(s) eines analogen Filters ein digitales Filter entworfen wird, ist richtig?

Verwandte Begriffe

IIR-Filter Faltung Differenzengleichung FIR-Filter Linearer Phasengang Grenzfrequenz Dezimation Diskrete Fourier-Transformation Fensterfunktion Frequenzauflösung

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