Qu'est-ce que Écart type ?
Grandeur qui mesure l'ampleur de la dispersion de données ou d'une variable aléatoire, souvent notée σ (sigma). La moyenne des carrés des écarts de chaque valeur à la moyenne est la variance, et sa racine carrée positive est l'écart type. Comme il s'exprime dans la même unité que les données, il permet d'indiquer directement l'étendue de la dispersion, sous la forme moyenne ±1σ ou ±3σ. Il est très utilisé pour les limites de contrôle de la maîtrise des procédés, les indices de capabilité, l'évaluation des erreurs de mesure et les calculs sur la loi normale.
Nom japonais: 標準偏差
« Écart type » apparaît dans 16 questions d'entraînement réparties sur 5 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente, Rendement et contrôle qualité, Implantation ionique.
Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente
Calcul
Si μ est la moyenne, la variance est la moyenne de (x − μ)² et l'écart type sa racine carrée. Par exemple, pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, la moyenne vaut 5 et la somme des carrés des écarts 32 ; la variance vaut 32 ÷ 8 = 4 et l'écart type 2. La variance ayant pour unité le carré de celle des données, on utilise l'écart type pour exprimer l'étendue de la dispersion dans la même unité que les données.
Diviser par n ou par n − 1
Pour décrire la dispersion des données dont on dispose elles-mêmes, on divise la somme des carrés des écarts par le nombre de valeurs n. Pour estimer la variance d'une population à partir d'un échantillon, on utilise généralement la variance sans biais, obtenue en divisant par n − 1. En effet, la moyenne de l'échantillon est par construction la valeur la plus proche des données de l'échantillon, si bien que diviser par n sous-estime légèrement la variance de la population. Les tableurs proposent les deux fonctions : il faut vérifier laquelle on utilise.
Domaines d'utilisation
En maîtrise des procédés, les limites de contrôle d'une carte de contrôle sont tracées à la ligne centrale ±3σ, et l'indice de capabilité du procédé Cp compare la largeur de la spécification à 6σ. Pour des données qui suivent une loi normale, environ 68 % des valeurs se trouvent dans la moyenne ±1σ, environ 95 % dans ±2σ et environ 99,7 % dans ±3σ. L'erreur type, qui décrit la dispersion de la moyenne d'échantillon, vaut σ/√n, l'écart type de la population divisé par la racine carrée de la taille de l'échantillon.
Questions fréquentes
Quand utiliser la variance et quand utiliser l'écart type ?
On utilise l'écart type pour exprimer et comparer l'étendue de la dispersion dans la même unité que les données. La variance est une grandeur commode dans les calculs intermédiaires : la variance d'une somme de grandeurs indépendantes est la somme de leurs variances. Pour présenter les résultats, on prend souvent la racine carrée pour revenir à l'écart type.
Que devient l'écart type quand on combine deux dispersions indépendantes ?
Si elles sont indépendantes, les variances s'additionnent, et l'écart type combiné vaut √(σ₁² + σ₂²). Par exemple, deux dispersions indépendantes d'écarts types 3 nm et 4 nm donnent ensemble un écart type de 5 nm, moins que les 7 nm de la simple addition. C'est le raisonnement utilisé pour les chaînes de cotes et la combinaison des erreurs ; la formule ne s'applique pas lorsque les deux dispersions sont corrélées.