Qu'est-ce que Loi normale ?
Loi de probabilité continue en forme de cloche, symétrique autour de la moyenne μ, dont la forme est déterminée par deux paramètres, la moyenne μ et l'écart type σ. On l'appelle aussi loi de Gauss. Environ 68 % des valeurs se trouvent dans la moyenne ±1σ, environ 95 % dans ±2σ et environ 99,7 % dans ±3σ. Une grandeur formée par l'addition de nombreux petits facteurs indépendants tend vers une loi normale (théorème central limite) ; elle est donc très utilisée comme modèle des erreurs de mesure et de la variabilité de fabrication. Le changement de variable z = (x − μ) ÷ σ la ramène à la loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d'écart type 1.
Nom japonais: 正規分布
« Loi normale » apparaît dans 4 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente, Rendement et contrôle qualité.
Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente
Forme et propriétés
La loi normale a une forme de cloche, avec un maximum à la moyenne et une décroissance rapide à mesure qu'on s'en éloigne. Changer la moyenne déplace la courbe vers la gauche ou la droite sans changer sa forme, et augmenter l'écart type l'aplatit et l'élargit. Les proportions comprises dans la moyenne ±1σ, ±2σ et ±3σ valent respectivement environ 68,3 %, 95,4 % et 99,7 % ; retenir cette « règle 68-95-99,7 » permet d'estimer rapidement une dispersion.
Centrage, réduction et loi normale centrée réduite
Quelles que soient sa moyenne et son écart type, une loi normale devient, par le changement de variable z = (x − μ) ÷ σ, la loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d'écart type 1. Comme z indique « à combien d'écarts types de la moyenne » se trouve une valeur, on peut comparer des données d'unités ou de moyennes différentes. Les tables de la loi normale (tables des probabilités cumulées) sont établies pour cette loi centrée réduite ; par exemple, l'intervalle bilatéral à 95 % vaut ±1,96.
Questions fréquentes
Quel est le rapport avec les « 3σ » de la maîtrise des procédés ?
Sur une carte de contrôle, si le procédé est stable et suit une loi normale, la probabilité qu'un point sorte de la moyenne ±3σ sous l'effet du seul hasard n'est que d'environ 0,27 %. On trace donc les limites de contrôle à ±3σ, et l'on juge qu'un point qui en sort indique probablement une anomalie qui ne doit rien au hasard. La démarche Six Sigma repose elle aussi sur l'idée de mesurer, en nombre d'écarts types, la marge qui reste jusqu'aux limites de la spécification.
Peut-on considérer que toutes les données suivent une loi normale ?
Non. Beaucoup de données ne suivent pas une loi normale : la durée de vie des composants suit une loi log-normale ou une loi de Weibull, les intervalles entre arrivées une loi exponentielle, le nombre d'événements rares une loi de Poisson. En particulier, la probabilité des « queues », loin de la moyenne, peut varier de plusieurs ordres de grandeur selon la forme de la loi. On trace un histogramme pour vérifier la forme avant de décider d'utiliser la loi normale.