Was ist Standardabweichung?
Maß für die Stärke der Streuung von Daten oder einer Zufallsvariable, häufig mit σ (Sigma) bezeichnet. Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert ist die Varianz, ihre positive Quadratwurzel die Standardabweichung. Da sie dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten hat, lässt sich die Breite der Streuung direkt angeben, etwa als Mittelwert ±1σ oder ±3σ. Sie wird vielfach verwendet, etwa für die Eingriffsgrenzen der Prozesslenkung, den Prozessfähigkeitsindex, die Bewertung von Messfehlern und Berechnungen mit der Normalverteilung.
Japanische Bezeichnung: 標準偏差
„Standardabweichung“ kommt in 16 Übungsfragen aus 5 Themen vor, z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen, Ausbeute und Qualitätskontrolle, Ionenimplantation.
Fachgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen
Berechnung
Ist μ der Mittelwert, so ist die Varianz der Mittelwert von (x − μ)² und die Standardabweichung deren Quadratwurzel. Bei 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 etwa beträgt der Mittelwert 5 und die Summe der quadrierten Abweichungen 32; die Varianz ist 32 ÷ 8 = 4 und die Standardabweichung 2. Die Varianz hat als Einheit das Quadrat der Einheit der Daten; will man die Breite der Streuung in derselben Einheit wie die Daten angeben, verwendet man die Standardabweichung.
Anwendungen
In der Prozesslenkung werden die Eingriffsgrenzen der Regelkarte bei Mittellinie ±3σ gezogen, und der Prozessfähigkeitsindex Cp vergleicht die Breite der Spezifikation mit 6σ. Bei Daten, die einer Normalverteilung folgen, liegen etwa 68 % innerhalb von ±1σ um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von ±2σ und etwa 99,7 % innerhalb von ±3σ. Der Standardfehler, der die Streuung des Stichprobenmittelwerts beschreibt, ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit geteilt durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs, σ/√n.
Häufige Fragen
Wann verwendet man die Varianz und wann die Standardabweichung?
Will man die Breite der Streuung in derselben Einheit wie die Daten angeben und vergleichen, verwendet man die Standardabweichung. Die Varianz ist als Zwischengröße bei Rechnungen praktisch: Die Varianz einer Summe unabhängiger Größen ist die Summe ihrer Varianzen. Für die Darstellung der Ergebnisse zieht man meist die Wurzel und gibt die Standardabweichung an.
Welche Standardabweichung ergibt sich, wenn zwei unabhängige Streuungen zusammenkommen?
Bei unabhängigen Streuungen addieren sich die Varianzen, die gemeinsame Standardabweichung beträgt also √(σ₁² + σ₂²). Überlagern sich zum Beispiel unabhängige Streuungen mit Standardabweichungen von 3 nm und 4 nm, beträgt die gemeinsame Standardabweichung 5 nm und ist damit kleiner als die einfache Summe von 7 nm. Dieses Prinzip wird bei Toleranzketten und bei der Fehlerfortpflanzung genutzt; sind die beiden Streuungen korreliert, gilt die Formel nicht.