ひょうじゅんへんさ
データや確率変数のばらつきの大きさを表す量で、σ(シグマ)で表すことが多い。各値と平均との差を2乗して平均したものが分散で、その正の平方根が標準偏差である。元のデータと同じ単位になるので、平均±1σ、±3σのように、ばらつきの幅を直接表せる。工程管理の管理限界や工程能力指数、測定の誤差の評価、正規分布の計算などに広く使われる。
「標準偏差」は、5分野の16問の練習問題に出てきます(確率・統計と待ち行列, 歩留まり・品質管理, イオン注入など)。
この用語の分野: 確率・統計と待ち行列
平均をμとすると、分散は (x − μ)² の平均で、標準偏差はその平方根です。例えば 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 では、平均が5、差の2乗の和が32で、分散は 32 ÷ 8 = 4、標準偏差は2です。分散は単位が元のデータの2乗になるので、ばらつきの幅をデータと同じ単位で示すときは標準偏差を使います。
手元のデータそのもののばらつきを表すときは、差の2乗の和をデータの個数nで割ります。標本から母集団の分散を推定するときは、n − 1で割った不偏分散を使うのが一般的です。標本の平均は標本のデータに最も近くなるように決まるため、nで割ると母集団の分散を少し小さく見積もってしまうからです。表計算ソフトにも両方の関数があるので、どちらを使うかを確かめます。
工程管理では、管理図の管理限界を中心線±3σに引き、工程能力指数Cpは規格の幅を6σと比べます。正規分布に従うデータなら、平均±1σに約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%が入ります。標本平均のばらつきを表す標準誤差は、母集団の標準偏差を標本の大きさの平方根で割った σ/√n です。
正解：A. (上限規格 − 下限規格) ÷ 6σ
Cpは、規格の幅を工程のばらつき(6σ)で割った値で、工程が規格をどれだけ余裕をもって満たせるかを表します。Cp=1なら規格の幅がちょうど±3σで、約0.27%が規格外になります。一般にCp≥1.33(規格限界まで±4σ)あれば工程能力は十分とされます。平均値÷σやその逆数は、ばらつきの相対的な大きさを表す別の量です。
正解：A. 2
平均は (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) ÷ 8 = 40 ÷ 8 = 5 です。平均との差の2乗は 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 で、合計は32なので、分散は 32 ÷ 8 = 4 です。標準偏差は分散の正の平方根で、√4 = 2 です。
ばらつきの幅をデータと同じ単位で表して比べるときは標準偏差を使います。分散は計算の途中で便利な量で、互いに独立な量の和の分散は、それぞれの分散の和になります。結果を示すときは、平方根をとって標準偏差に直すことが多いです。
互いに独立なら、分散が足し算になるので、合わせた標準偏差は √(σ₁² + σ₂²) です。例えば、標準偏差3 nmと4 nmの独立なばらつきが重なると、合わせた標準偏差は5 nmで、単純に足した7 nmより小さくなります。寸法の積み上げや誤差の合成で使われる考え方で、2つのばらつきに相関があるときはこの式は成り立ちません。
標準偏差は分散の正の平方根で、√4 = 2 です。
分散を、平均との差の2乗の和をデータの個数で割って求めるものとする。8個のデータ 2, 4, 4, 4, 5, 5, …49.7〜50.3 mmは平均から±0.3 mm、つまり標準偏差の±3倍(±3σ)の範囲です。
ある部品の寸法は、平均50.0 mm、標準偏差0.1 mmの正規分布に従う。寸法が49.7 mmから50.3 mmまで…平均からの差はどちらも15点ですが、テストYの方がばらつきが小さいので、標準偏差を単位にして測るとBの方が平均から遠く離れています。
AさんはテストXで80点、BさんはテストYで75点をとった。テストXの平均は65点、標準偏差は10点で、テストYの平均…yをxから予測する回帰直線の傾きは、相関係数 × (yの標準偏差 ÷ xの標準偏差) で、0.8 × 10 ÷ 5 = 1.6 です。
2つの量x、yの相関係数が0.8、xの標準偏差が5、yの標準偏差が10である。最小二乗法で求めた、yをxから予測する回…標本平均の標準誤差は、母集団の標準偏差σを標本の大きさnの平方根で割った σ/√n です。
標準偏差が12の母集団から、大きさ36の標本を無作為に取り出す。標本平均の標準誤差(標本平均のばらつきを表す標準偏差)…Amazonの検索結果へのリンクです。Amazonのアソシエイトとして、半導体教室は適格販売により収入を得ています。
正規分布 イオン注入 相関係数 管理図 工程能力指数(Cpk) 信頼区間 投影飛程 チャネリング フォトレジスト アッシング