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표준 편차(Standard Deviation)란?

데이터나 확률 변수의 흩어짐의 크기를 나타내는 양으로, σ(시그마)로 나타내는 경우가 많다. 각 값과 평균의 차를 제곱하여 평균한 것이 분산이고, 그 양의 제곱근이 표준 편차이다. 원래 데이터와 같은 단위가 되므로, 평균 ±1σ, ±3σ처럼 흩어짐의 폭을 직접 나타낼 수 있다. 공정 관리의 관리 한계나 공정 능력 지수, 측정 오차의 평가, 정규 분포의 계산 등에 널리 사용된다.

일본어 명칭: 標準偏差

표준 편차(Standard Deviation)은(는) 확률·통계와 대기행렬, 수율과 품질 관리, 이온 주입 등 5개 분야의 연습 문제 16개에 나와요.

분야: 확률·통계와 대기행렬

구하는 방법

평균을 μ라고 하면, 분산은 (x − μ)²의 평균이고 표준 편차는 그 제곱근입니다. 예를 들어 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9에서는 평균이 5, 차의 제곱의 합이 32이고, 분산은 32 ÷ 8 = 4, 표준 편차는 2입니다. 분산은 단위가 원래 데이터의 제곱이 되므로, 흩어짐의 폭을 데이터와 같은 단위로 나타낼 때는 표준 편차를 사용합니다.

n으로 나눌까 n − 1로 나눌까

가지고 있는 데이터 자체의 흩어짐을 나타낼 때는, 차의 제곱의 합을 데이터의 개수 n으로 나눕니다. 표본으로부터 모집단의 분산을 추정할 때는 n − 1로 나눈 불편 분산을 사용하는 것이 일반적입니다. 표본의 평균은 표본 데이터에 가장 가까워지도록 정해지기 때문에, n으로 나누면 모집단의 분산을 약간 작게 어림해 버리기 때문입니다. 스프레드시트에도 두 가지 함수가 있으므로, 어느 쪽을 사용하는지 확인합니다.

사용되는 곳

공정 관리에서는 관리도의 관리 한계를 중심선 ±3σ에 긋고, 공정 능력 지수 Cp는 규격의 폭을 6σ와 비교합니다. 정규 분포를 따르는 데이터라면 평균 ±1σ에 약 68%, ±2σ에 약 95%, ±3σ에 약 99.7%가 들어갑니다. 표본 평균의 흩어짐을 나타내는 표준 오차는, 모집단의 표준 편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 σ/√n입니다.

도전해 보기: 표준 편차(Standard Deviation) 관련 문제

공정 능력 지수 Cp(규격의 중심과 공정의 평균이 일치하는 경우)를 구하는 식은? (σ: 공정의 표준 편차)

  1. A(상한 규격 − 하한 규격) ÷ 6σ
  2. B평균값 ÷ σ
  3. Cσ ÷ 평균값
정답과 해설 보기

정답: A. (상한 규격 − 하한 규격) ÷ 6σ

Cp는 규격 폭을 공정의 변동(6σ)으로 나눈 값으로, 공정이 규격을 얼마나 여유 있게 만족하는지를 나타냅니다. Cp=1이면 규격 폭이 정확히 ±3σ이며 약 0.27%가 규격 밖이 됩니다. 일반적으로 Cp≥1.33(규격 한계까지 ±4σ)이면 공정 능력이 충분하다고 봅니다. 평균값÷σ나 그 역수는 변동의 상대적 크기를 나타내는 다른 양입니다.

자주 묻는 질문

분산과 표준 편차는 어떻게 구분해서 사용하나요?

흩어짐의 폭을 데이터와 같은 단위로 나타내어 비교할 때는 표준 편차를 사용합니다. 분산은 계산 도중에 편리한 양으로, 서로 독립인 양의 합의 분산은 각각의 분산의 합이 됩니다. 결과를 제시할 때는 제곱근을 취해 표준 편차로 바꾸는 경우가 많습니다.

독립인 두 흩어짐을 합치면 표준 편차는 어떻게 되나요?

서로 독립이면 분산이 더해지므로, 합친 표준 편차는 √(σ₁² + σ₂²)입니다. 예를 들어 표준 편차 3 nm와 4 nm의 독립적인 흩어짐이 겹치면, 합친 표준 편차는 5 nm로, 단순히 더한 7 nm보다 작아집니다. 치수의 누적이나 오차의 합성에 사용되는 사고방식이며, 두 흩어짐에 상관이 있을 때는 이 식이 성립하지 않습니다.

해설 속 표준 편차(Standard Deviation)

표준 편차(Standard Deviation)이(가) 나오는 문제 (16)

  1. 공정 능력 지수 Cp(규격의 중심과 공정의 평균이 일치하는 경우)를 구하는 식은? (σ: 공정의 표준 편차)
  2. 분산을, 평균과의 차의 제곱의 합을 데이터의 개수로 나누어 구하는 것으로 한다. 8개의 데이터 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9의 표준 편차는?
  3. 어떤 부품의 치수는 평균 50.0 mm, 표준 편차 0.1 mm인 정규 분포를 따른다. 치수가 49.7 mm에서 50.3 mm까지의 범위에 들어가는 부품의 비율에 가장 가까운 것은?
  4. A는 시험 X에서 80점, B는 시험 Y에서 75점을 받았다. 시험 X의 평균은 65점, 표준 편차는 10점이고, 시험 Y의 평균은 60점, 표준 편차는 6점이었다. 각 시험 안에서의 상대적인 위치를, 표준화한 값 z = (점수 − 평균) ÷ 표준 편차로 비교했을 때의 설명으로 올바른 것은?
  5. 어떤 회로 경로의 지연이 칩마다 평균 940 ps, 표준 편차 30 ps인 정규 분포를 따라 흩어진다. 정규 분포에서 평균 ±2σ의 범위에 들어가는 비율을 약 95.4%라고 할 때, 지연이 클록 주기 1,000 ps를 넘어 버리는 칩의 비율에 가장 가까운 것은?
  6. 두 양 x, y의 상관 계수가 0.8, x의 표준 편차가 5, y의 표준 편차가 10이다. 최소 제곱법으로 구한, y를 x로부터 예측하는 회귀 직선의 기울기는?
  7. 표준 편차가 12인 모집단에서 크기 36의 표본을 무작위로 추출한다. 표본 평균의 표준 오차(표본 평균의 흩어짐을 나타내는 표준 편차)는?
  8. 모집단의 표준 편차가 10이라는 것을 알고 있다. 이 모집단에서 크기 100의 표본을 추출했더니 표본 평균은 50.0이었다. 표준 정규 분포에서 양쪽 95%에 해당하는 값을 1.96이라고 할 때, 모평균의 95% 신뢰 구간은?
  9. 이온 주입 후 불순물의 깊이 방향 분포를 근사적으로 나타내는 분포와 그 피크 깊이를 나타내는 양의 조합으로 올바른 것은?
  10. 이온 주입의 마스크로 포토레지스트를 사용할 때 주의해야 할 점은?
  11. 마스크 끝 부근에 이온 주입했을 때 불순물이 마스크 아래까지 가로 방향으로 퍼져 들어가는 원인으로 올바른 것은?
  12. 공정 관리에 사용되는 관리도(슈하트 관리도)에서 관리 한계선은 일반적으로 어떻게 설정하는가?
  13. 공정 평균값의 변화와 변동의 변화를 동시에 감시하기 위해 샘플의 평균값과 범위(최대−최소)를 각각 시계열로 그리는 관리도는?
  14. 두 양의 상관 계수에 대한 설명으로 적절한 것은?
  15. 머신러닝 모델을 만드는 절차 중 데이터 누수(평가에 사용하는 데이터의 정보가 학습에 섞여 들어가는 것)를 일으키는 것은?

관련 용어

정규 분포(Normal Distribution) 이온 주입 상관 계수(Correlation Coefficient) 관리도(Control Chart) 공정 능력 지수(Cpk) 신뢰 구간(Confidence Interval) 투영 비정(Projected Range) 채널링(Channeling) 포토레지스트(Photoresist) 애싱(Ashing)

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