せいきぶんぷ
平均μを中心に左右対称な釣り鐘の形をした連続の確率分布で、平均μと標準偏差σの2つで形が決まる。ガウス分布とも呼ばれる。平均±1σに約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%が入る。多くの小さな独立の要因が足し合わさった量は正規分布に近づく(中心極限定理)ため、測定の誤差や製造のばらつきのモデルとして広く使われる。z = (x − μ) ÷ σ で標準化すると、平均0、標準偏差1の標準正規分布になる。
「正規分布」は、2分野の4問の練習問題に出てきます(確率・統計と待ち行列, 歩留まり・品質管理など)。
この用語の分野: 確率・統計と待ち行列
正規分布は平均で最も高く、平均から離れるほど急に低くなる釣り鐘の形をしています。平均を変えると形のまま左右に動き、標準偏差を大きくすると低く横に広がります。平均±1σ、±2σ、±3σに入る割合はそれぞれ約68.3%、約95.4%、約99.7%で、この「68-95-99.7則」を覚えておくと、ばらつきの見積もりが素早くできます。
どんな平均と標準偏差の正規分布でも、z = (x − μ) ÷ σ と変換すれば、平均0、標準偏差1の標準正規分布になります。zは「平均から標準偏差の何倍離れているか」を表すので、単位や平均の違うデータどうしを比べられます。正規分布の表(累積の確率の表)はこの標準正規分布について作られていて、例えば両側95%の範囲は ±1.96 です。
互いに独立な多くの小さな要因が足し合わさった量は、個々の要因の分布によらず正規分布に近づきます(中心極限定理)。測定の誤差や、多くの工程の小さなばらつきが積み重なった寸法などが正規分布に近くなるのはこのためです。標本平均の分布が正規分布で近似できることも、信頼区間や仮説検定の計算の基礎になっています。
正解：A. 約2.3%
標準化すると z = (1,000 − 940) ÷ 30 = 2 なので、平均から+2σを超えるチップの割合を求めます。±2σの外側は 100 − 95.4 = 4.6% で、正規分布は左右対称なので、上側だけでは 4.6 ÷ 2 = 2.3% です。このように遅延のばらつきを確率分布として扱うと、タイミングを満たさないチップの割合を見積もれます。
管理図では、工程が安定して正規分布に従うなら、偶然のばらつきだけで点が平均±3σの外に出る確率は約0.27%しかありません。そのため、管理限界を±3σに引き、外に出た点は偶然ではない異常の可能性が高いと判断します。シックスシグマも、規格の限界までの余裕を標準偏差の何倍とるかという考え方にもとづいています。
いいえ。部品の寿命は対数正規分布やワイブル分布、到着の間隔は指数分布、まれな出来事の数はポアソン分布のように、正規分布に従わないデータも多くあります。特に、平均から大きく離れた「すそ」の確率は、分布の形の違いで桁違いに変わることがあります。ヒストグラムを描いて形を確かめてから、正規分布を使うかどうかを判断します。
正規分布では、平均±1σに約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%が入ります(68-95-99.7則)。
ある部品の寸法は、平均50.0 mm、標準偏差0.1 mmの正規分布に従う。寸法が49.7 mmから50.3 mmまで…±2σの外側は 100 − 95.4 = 4.6% で、正規分布は左右対称なので、上側だけでは 4.6 ÷ 2 = 2.3% です。
ある回路の経路の遅延が、チップごとに平均940 ps、標準偏差30 psの正規分布に従ってばらつく。正規分布で平均±2…正規分布では、偶然のばらつきだけで点がこの外に出る確率は約0.27%と小さいため、外に出たら工程に異常が起きたと判断します。
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