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Spezifischer Widerstand und Dotierkonzentration von Silizium

Bestimmen Sie aus dem spezifischen Widerstand im Wafer-Datenblatt die Dotierkonzentration oder umgekehrt aus der Konzentration den Widerstand. Berücksichtigt wird auch, dass die Beweglichkeit mit steigender Dotierung sinkt – für n-Typ (Phosphor, Arsen) und p-Typ (Bor).

Eingaben

Ganz gleich, in welches Feld Sie einen Wert eingeben, das andere wird berechnet. Konzentrationen lassen sich in Exponentialschreibweise wie 1e15 eingeben.

Ergebnisse

Dotierkonzentration N
–
Spezifischer Widerstand ρ
–
Beweglichkeit der Majoritätsträger μ
–
Leitfähigkeit σ = 1/ρ
–

Beide Achsen sind logarithmisch. Die durchgezogene Linie gilt für den gewählten Leitungstyp, die gestrichelte für den anderen. Der rote Punkt ist der aktuelle Wert (dargestellt im Bereich 10¹³ bis 10¹⁹ cm⁻³).

Angenommen sind 300 K, vollständige Ionisation aller Dotieratome und ein vernachlässigbarer Beitrag der Minoritätsträger. Die Beweglichkeit folgt dem Ansatz nach Caughey–Thomas μ = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α) mit typischen, in Lehrbüchern verbreiteten Fitwerten (Elektronen: μmax 1414, μmin 68,5 cm²/V·s, Nref 9,2×10¹⁶ cm⁻³, α 0,711; Löcher: 470,5, 44,9, 2,23×10¹⁷, 0,719). Kompensation (gleichzeitig Donatoren und Akzeptoren) und unvollständige Ionisation bei hohen Konzentrationen über 10¹⁹ cm⁻³ sind nicht berücksichtigt.

Formeln für spezifischen Widerstand und Dotierung

Die Leitfähigkeit eines Halbleiters ist das Produkt aus Ladungsträgerzahl und Beweglichkeit: σ = q(nμn + pμp). Sind in einem n-Halbleiter alle Dotieratome ionisiert, gilt n ≈ ND, und der Beitrag der Minoritätsträger ist vernachlässigbar; der spezifische Widerstand beträgt dann ρ = 1/(q·ND·μn). Für den p-Typ gilt entsprechend ρ = 1/(q·NA·μp). Da die Beweglichkeit μ selbst von der Konzentration abhängt, sind Konzentration und Widerstand jedoch nicht einfach umgekehrt proportional. Dieser Rechner bestimmt die Beweglichkeit mit dem Ansatz nach Caughey–Thomas μ(N) = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α) und löst die Gleichung numerisch nach der Konzentration auf, wenn diese aus dem Widerstand berechnet wird.

Annahmen und Gültigkeitsbereich

Angenommen wird Silizium bei 300 K mit nur einer Dotierstoffart, die vollständig ionisiert ist; der Beitrag der Minoritätsträger wird vernachlässigt. Als Richtwert für den Gültigkeitsbereich gelten 10¹³ bis 10¹⁹ cm⁻³. In kompensierten Kristallen mit Donatoren und Akzeptoren bestimmt die Nettokonzentration die Ladungsträgerzahl, die Streuung und damit die Beweglichkeit hängt aber von der Summe beider Konzentrationen ab – der spezifische Widerstand ist dann höher als hier berechnet. Oberhalb von 10¹⁹ cm⁻³ machen sich unvollständige Ionisation und Bandlückenverengung bemerkbar, sodass die Abweichung von messbasierten Umrechnungstabellen wächst.

Rechenbeispiel

Mit den Standardwerten p-Typ und NA = 10¹⁵ cm⁻³ beträgt die Löcherbeweglichkeit etwa 462 cm²/V·s, also ρ = 1/(1,602×10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 462) ≈ 13,5 Ω·cm. Beim n-Typ gleicher Konzentration ist die Elektronenbeweglichkeit mit etwa 1362 cm²/V·s rund dreimal so groß, daher ρ ≈ 4,58 Ω·cm. Umgekehrt ergibt sich für einen Wafer mit der Spezifikation „p-Typ 10 Ω·cm“ etwa 1,36×10¹⁵ cm⁻³ und für „n-Typ 1 Ω·cm“ etwa 4,9×10¹⁵ cm⁻³. Erhöht man die Konzentration um den Faktor 100 auf 10¹⁷ cm⁻³, sinkt der Widerstand des p-Typs nur auf etwa 0,197 Ω·cm und nicht auf ein Hundertstel, 0,135 Ω·cm. Grund ist die Coulomb-Streuung an den Dotieratomen, die die Beweglichkeit auf etwa 317 cm²/V·s senkt.

Verwendete Werte und Art der Quellen

Die Koeffizienten der Beweglichkeitsformel sind typische Fitwerte, die an gemessene Beweglichkeiten von Silizium angepasst wurden und in Lehrbüchern und Erläuterungen zu Halbleiterbauelementen weit verbreitet sind. Die Elementarladung beträgt q = 1,602×10⁻¹⁹ C. Bei realen Wafern misst man den spezifischen Widerstand üblicherweise etwa mit der Vierspitzenmethode und rechnet ihn mit einer Norm wie SEMI MF723 (formerly ASTM F723) in die Konzentration um. Verwenden Sie die Ergebnisse dieses Rechners als Richtwerte und prüfen Sie genaue Werte anhand der Umrechnungsnorm oder einer Messung.

Übungsfragen zur Halbleiterphysik

Wie groß ist der spezifische Widerstand von n-Silizium mit einer Elektronendichte von 1×10¹⁶ cm⁻³ und einer Elektronenbeweglichkeit von 1000 cm²/V·s ungefähr? (Beitrag der Löcher vernachlässigen, Elementarladung 1,6×10⁻¹⁹ C)

  1. Aetwa 0,06 Ω·cm
  2. Betwa 0,6 Ω·cm
  3. Cetwa 60 Ω·cm
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. etwa 0,6 Ω·cm

Die Leitfähigkeit beträgt σ = qnμ = 1,6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁶ × 1000 = 1,6 S/cm, und der spezifische Widerstand als ihr Kehrwert ρ ≈ 0,63 Ω·cm. „ρ ≈ 1/(qnμ)“ ist die Grundformel, um aus dem spezifischen Widerstand eines Wafers die Dotierstoffkonzentration abzuschätzen. In der Praxis werden Umrechnungstabellen (z. B. nach ASTM-Normen) verwendet, die die Konzentrationsabhängigkeit der Beweglichkeit berücksichtigen; beispielsweise entsprechen p-Wafer mit 1 bis 10 Ω·cm einer Borkonzentration von etwa 10¹⁵ bis 10¹⁶ cm⁻³.

Welcher Zusammenhang zwischen dem spezifischen Widerstand eines Siliziumwafers und der Konzentration zugesetzter Verunreinigungen ist richtig?

  1. AJe höher die Dotierstoffkonzentration, desto höher der spezifische Widerstand
  2. BDotierstoffkonzentration und spezifischer Widerstand stehen in keinem Zusammenhang
  3. CJe höher die Dotierstoffkonzentration, desto niedriger der spezifische Widerstand
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: C. Je höher die Dotierstoffkonzentration, desto niedriger der spezifische Widerstand

Wird viel Dotierstoff zugesetzt, nehmen die Ladungsträger zu und der spezifische Widerstand sinkt; wegen dieses Zusammenhangs wird der spezifische Widerstand von Wafern als Richtwert für die Dotierstoffkonzentration in der Spezifikation angegeben. Bei p-Typ mit 1 bis 10 Ω·cm liegt Bor z. B. bei etwa 10¹⁵ bis 10¹⁶ cm⁻³, bei 0,01 Ω·cm bei etwa 10¹⁹ cm⁻³. Bei hoher Konzentration sinkt die Beweglichkeit durch Streuung an ionisierten Störstellen, sodass keine einfache umgekehrte Proportionalität besteht, und es wird mit Umrechnungstabellen wie ASTM umgerechnet.

Welche Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands eines intrinsischen Halbleiters ist richtig?

  1. AMit steigender Temperatur sinkt der spezifische Widerstand
  2. BMit steigender Temperatur steigt der spezifische Widerstand
  3. CDer spezifische Widerstand ist unabhängig von der Temperatur konstant
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: A. Mit steigender Temperatur sinkt der spezifische Widerstand

Bei intrinsischen Halbleitern nimmt mit steigender Temperatur die Zahl der über die Bandlücke angeregten Ladungsträger exponentiell zu, sodass der spezifische Widerstand sinkt (negativer Temperaturkoeffizient). Bei Metallen ist die Zahl der Ladungsträger nahezu konstant, und die Streuung an Gitterschwingungen nimmt zu, sodass der spezifische Widerstand steigt. Diese Eigenschaft nutzen Thermistoren (NTC). Bei dotiertem Silizium ist die Ladungsträgerzahl nahe Raumtemperatur jedoch nahezu konstant, sodass es einen Bereich gibt, in dem der Widerstand wegen der sinkenden Beweglichkeit sogar steigt.

Welches Verfahren dient zur berührungslosen Messung des spezifischen Widerstands von Wafern?

  1. ASIMS
  2. BTEM-Beobachtung
  3. CMessung mit Wirbelströmen
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: C. Messung mit Wirbelströmen

Wird ein magnetisches Wechselfeld angelegt, fließen im Wafer Wirbelströme, deren Größe von der Leitfähigkeit (Schichtwiderstand) abhängt. Mit einer Spule erfasst, lässt sich der spezifische Widerstand ohne Berührung des Wafers messen. Anders als bei der Vierspitzenmethode mit aufgesetzten Spitzen wird die Oberfläche nicht beschädigt und nicht kontaminiert, sodass es bei der Wareneingangsprüfung von Wafern und zur Messung der Dicke von Metallschichten (Umrechnung aus dem Schichtwiderstand) verwendet wird. Durch Mapping lässt sich auch die Verteilung im Wafer bewerten.

Häufige Fragen

Warum unterscheidet sich der spezifische Widerstand von n- und p-Typ bei gleicher Konzentration?

Weil in Silizium die Elektronenbeweglichkeit etwa dreimal so groß ist wie die Löcherbeweglichkeit. Bei niedriger Dotierung liegen Elektronen bei etwa 1400 cm²/V·s und Löcher bei etwa 470 cm²/V·s; bei gleicher Konzentration hat der n-Typ daher nur etwa ein Drittel des Widerstands des p-Typs.

Muss ich die Konzentration auf ein Zehntel senken, um den Widerstand zu verzehnfachen?

Bei niedrigen Konzentrationen bis 10¹⁵ cm⁻³ ist die Beweglichkeit nahezu konstant, ein Zehntel reicht dann ungefähr. Bei hoher Dotierung steigt mit sinkender Konzentration die Beweglichkeit, sodass der Widerstand langsamer zunimmt – die Konzentration muss dann stärker als auf ein Zehntel gesenkt werden. Beachten Sie die Änderung der Steigung im Diagramm.

Kann ich damit die Dotierung aus dem Widerstand eines realen Wafers bestimmen?

Als Richtwert ja. Kompensation durch gleichzeitig vorhandene Donatoren und Akzeptoren oder thermische Donatoren, die bei Temperung von CZ-Silizium um 450 ℃ entstehen, verändern jedoch den Zusammenhang zwischen Widerstand und Konzentration. Genaue Werte sollten Sie mit einer Umrechnungsnorm oder einer Konzentrationsmessung, etwa per SIMS, bestätigen.

Verwandte Begriffe

Beweglichkeit (Mobilität) Donator (Donor) Akzeptor Vierspitzenmethode Intrinsische Ladungsträgerdichte Thermischer Donator

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