웨이퍼 사양에 적힌 비저항으로부터 불순물 농도를, 또는 농도로부터 비저항을 구합니다. 불순물이 많을수록 이동도가 낮아지는 효과까지 반영해 n형(인·비소)과 p형(붕소)을 계산합니다.
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농도가 1e10~1e21 cm⁻³ 범위에 들어가도록 양수 값을 입력하십시오.
두 축 모두 로그 눈금입니다. 실선은 선택한 전도형, 점선은 다른 전도형입니다. 빨간 점이 현재 값입니다(10¹³~10¹⁹ cm⁻³ 범위에서 표시).
온도 300 K에서 불순물이 모두 이온화되어 있다고 보고, 소수 캐리어의 기여는 무시합니다. 이동도는 Caughey–Thomas형 식 μ = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α)에 교과서에서 흔히 쓰는 대표적인 피팅값(전자: μmax 1414, μmin 68.5 cm²/V·s, Nref 9.2×10¹⁶ cm⁻³, α 0.711, 정공: 470.5, 44.9, 2.23×10¹⁷, 0.719)을 넣어 구합니다. 보상(도너와 억셉터가 함께 들어 있는 경우)과 10¹⁹ cm⁻³을 넘는 고농도에서의 불완전 이온화는 고려하지 않습니다.
다른 입력은 현재 값 그대로 두고, 선택한 입력만 현재 값의 1/4~4배 범위에서 바꿨을 때의 결과입니다. 빨간 점이 현재 값입니다.
반도체의 전도도는 캐리어 수와 움직이기 쉬운 정도의 곱으로 σ = q(nμn + pμp)로 나타냅니다. n형에서 불순물이 모두 이온화되어 있으면 n ≈ ND이고 소수 캐리어의 기여는 무시할 수 있으므로, 비저항은 ρ = 1/(q·ND·μn)입니다. p형도 마찬가지로 ρ = 1/(q·NA·μp)입니다. 다만 이동도 μ 자체가 농도에 따라 변하기 때문에 농도와 비저항은 단순한 반비례 관계가 되지 않습니다. 이 계산기는 μ(N) = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α)라는 Caughey–Thomas형 식으로 이동도를 구하고, 비저항에서 농도를 구할 때는 이 식을 농도에 대해 수치적으로 풉니다.
온도 300 K의 실리콘에 불순물이 한 종류만 들어 있고 모두 이온화되어 있다고 가정하며, 소수 캐리어의 기여는 무시합니다. 적용 범위의 기준은 10¹³~10¹⁹ cm⁻³입니다. 도너와 억셉터가 함께 들어 있는 보상된 결정에서는 캐리어 수가 순(net) 농도로 정해지는 반면, 이동도는 두 농도를 합친 만큼의 산란을 받기 때문에 이 계산기의 값보다 비저항이 높아집니다. 10¹⁹ cm⁻³을 넘으면 불완전 이온화와 밴드갭 축소의 영향이 나타나, 실측에 근거한 환산표와의 차이가 커집니다.
기본값인 p형, NA = 10¹⁵ cm⁻³에서는 정공 이동도가 약 462 cm²/V·s이므로 ρ = 1/(1.602×10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 462) ≈ 13.5 Ω·cm입니다. 같은 농도의 n형에서는 전자 이동도가 약 1362 cm²/V·s로 약 3배 크기 때문에 ρ ≈ 4.58 Ω·cm가 됩니다. 반대로 사양이 'p형 10 Ω·cm'인 웨이퍼는 약 1.36×10¹⁵ cm⁻³, 'n형 1 Ω·cm'인 웨이퍼는 약 4.9×10¹⁵ cm⁻³으로 구해집니다. 농도를 100배인 10¹⁷ cm⁻³으로 높이면 p형의 비저항은 약 0.197 Ω·cm로, 100분의 1인 0.135 Ω·cm까지는 내려가지 않습니다. 불순물에 의한 쿨롱 산란으로 이동도가 약 317 cm²/V·s로 낮아지기 때문입니다.
이동도 식의 계수는 실리콘 이동도의 실측값에 맞춘 대표적인 피팅값으로, 반도체 소자 교과서와 해설에서 널리 쓰이는 것입니다. 전기소량은 q = 1.602×10⁻¹⁹ C입니다. 실제 웨이퍼에서는 4점 탐침법 등으로 비저항을 측정한 뒤 SEMI MF723 (formerly ASTM F723) 같은 환산 규격으로 농도를 구하는 것이 일반적입니다. 이 계산기의 결과는 기준값으로 사용하고, 정확한 값이 필요할 때는 환산 규격이나 실측으로 확인하십시오.
정답: B. 약 0.6 Ω·cm
전도율은 σ = qnμ = 1.6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁶ × 1000 = 1.6 S/cm이며, 저항률은 그 역수인 ρ ≈ 0.63 Ω·cm입니다. 'ρ ≈ 1/(qnμ)'는 웨이퍼의 저항률에서 도펀트 농도를 추정하는 기본식입니다. 실무에서는 이동도의 농도 의존성을 포함한 환산표(ASTM 규격 등)를 사용하며, 예를 들어 1~10 Ω·cm의 p형 웨이퍼는 붕소 약 10¹⁵~10¹⁶ cm⁻³에 해당합니다.
정답: C. 불순물 농도가 높을수록 저항률은 낮아진다
불순물을 많이 첨가하면 캐리어가 늘어 저항률이 낮아지며, 이 관계 때문에 웨이퍼의 저항률은 불순물 농도의 기준으로 사양에 지정됩니다. 예를 들어 p형 1~10 Ω·cm라면 붕소는 약 10¹⁵~10¹⁶ cm⁻³, 0.01 Ω·cm라면 약 10¹⁹ cm⁻³입니다. 농도가 높아지면 이온화 불순물 산란으로 이동도가 떨어지므로 단순한 반비례가 되지 않으며, ASTM 등의 환산표를 사용하여 변환합니다.
정답: C. 와전류를 이용한 측정
교류 자기장을 걸면 웨이퍼 내에 와전류가 흐르고, 그 크기는 도전율(면저항)에 따라 달라집니다. 이를 코일로 검출하여 웨이퍼에 접촉하지 않고 저항률을 측정할 수 있습니다. 탐침을 대는 4탐침법과 달리 표면에 흠집을 내지 않고 오염도 없어, 웨이퍼 입고 검사나 금속막 두께 측정(면저항에서 환산) 등에 사용됩니다. 매핑하여 웨이퍼 내 분포도 평가할 수 있습니다.
실리콘에서는 전자의 이동도가 정공의 약 3배이기 때문입니다. 저농도에서 전자는 약 1400 cm²/V·s, 정공은 약 470 cm²/V·s이므로, 같은 농도라면 n형의 비저항은 p형의 약 3분의 1이 됩니다.
10¹⁵ cm⁻³ 이하의 저농도에서는 이동도가 거의 일정하므로 대략 10분의 1이면 됩니다. 고농도에서는 농도를 낮추면 이동도가 올라가 비저항의 증가가 둔해지므로, 10분의 1보다 더 많이 낮춰야 합니다. 그래프에서 기울기의 변화를 확인해 보십시오.
기준값으로는 쓸 수 있습니다. 다만 도너와 억셉터가 함께 들어 있는 보상이나, CZ 실리콘을 450 ℃ 부근에서 열처리할 때 생기는 서멀 도너가 있으면 비저항과 농도의 관계가 달라집니다. 정확한 값은 환산 규격이나 SIMS 등을 이용한 농도 측정으로 확인하십시오.
이동도 도너(donor) 억셉터(Acceptor) 4점 탐침법 진성 캐리어 밀도 서멀 도너(Thermal Donor)
