Resistiviteit en doteringsconcentratie van silicium omrekenen
Bepaal de doteringsconcentratie uit de resistiviteit in een waferspecificatie, of de resistiviteit uit de concentratie. De berekening houdt rekening met de daling van de mobiliteit bij hogere dotering, voor n-type (fosfor, arseen) en p-type (boor).
Je invoer staat in de URL van deze pagina, dus een bladwijzer of gedeelde link opent dezelfde berekening. Favorieten en onlangs gebruikte rekentools worden alleen in deze browser (localStorage) bewaard.
Resultaten
Voer een positieve waarde in die overeenkomt met een concentratie tussen 1e10 en 1e21 cm⁻³.
Doteringsconcentratie N
–
Resistiviteit ρ
–
Mobiliteit van de meerderheidsladingsdragers μ
–
Geleidbaarheid σ = 1/ρ
–
Beide assen zijn logaritmisch. De doorgetrokken lijn is het gekozen geleidingstype, de stippellijn het andere type. De rode stip is de huidige waarde (weergegeven tussen 10¹³ en 10¹⁹ cm⁻³).
Berekend bij 300 K, met volledig geïoniseerde doteringsatomen en zonder bijdrage van de minderheidsladingsdragers. De mobiliteit volgt het Caughey–Thomas-model μ = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α), met representatieve fitwaarden die in leerboeken veel worden gebruikt (elektronen: μmax 1414, μmin 68,5 cm²/V·s, Nref 9,2×10¹⁶ cm⁻³, α 0,711; gaten: 470,5, 44,9, 2,23×10¹⁷, 0,719). Compensatie (donoren en acceptoren samen) en onvolledige ionisatie bij concentraties boven 10¹⁹ cm⁻³ zijn niet meegenomen.
Bekijk als grafiek
De andere invoerwaarden blijven gelijk, terwijl de gekozen invoer varieert van 1/4 tot 4 keer de huidige waarde. De rode stip is de huidige waarde.
Formule voor resistiviteit en doteringsconcentratie
De geleidbaarheid van een halfgeleider is het product van het aantal ladingsdragers en hun beweeglijkheid: σ = q(nμn + pμp). In n-type materiaal met volledig geïoniseerde donoren is n ≈ ND en is de bijdrage van de minderheidsladingsdragers te verwaarlozen, zodat ρ = 1/(q·ND·μn). Voor p-type geldt evenzo ρ = 1/(q·NA·μp). Omdat de mobiliteit μ zelf van de concentratie afhangt, zijn concentratie en resistiviteit echter niet gewoon omgekeerd evenredig. Deze tool berekent de mobiliteit met het Caughey–Thomas-model μ(N) = μmin + (μmax − μmin)/(1 + (N/Nref)^α) en lost deze vergelijking numeriek op naar de concentratie wanneer je van resistiviteit naar concentratie rekent.
Aannames en geldigheidsgebied
Uitgangspunt is silicium bij 300 K met één soort doteringsatoom, volledig geïoniseerd, zonder bijdrage van de minderheidsladingsdragers. Als richtlijn geldt het bereik 10¹³ tot 10¹⁹ cm⁻³. In een gecompenseerd kristal met zowel donoren als acceptoren bepaalt de netto concentratie het aantal ladingsdragers, terwijl de verstrooiing door de totale concentratie van beide wordt bepaald; de resistiviteit is dan hoger dan deze tool aangeeft. Boven 10¹⁹ cm⁻³ spelen onvolledige ionisatie en bandgapversmalling een rol en wijkt het resultaat steeds meer af van omrekentabellen die op metingen zijn gebaseerd.
Rekenvoorbeeld
Met de standaardwaarden, p-type en NA = 10¹⁵ cm⁻³, is de gatenmobiliteit ongeveer 462 cm²/V·s en ρ = 1/(1,602×10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 462) ≈ 13,5 Ω·cm. Bij dezelfde concentratie in n-type is de elektronenmobiliteit met ongeveer 1362 cm²/V·s zo'n drie keer groter, zodat ρ ≈ 4,58 Ω·cm. Omgekeerd komt een wafer met de specificatie 'p-type 10 Ω·cm' overeen met ongeveer 1,36×10¹⁵ cm⁻³ en 'n-type 1 Ω·cm' met ongeveer 4,9×10¹⁵ cm⁻³. Verhoog je de concentratie honderdvoudig tot 10¹⁷ cm⁻³, dan wordt de p-type resistiviteit ongeveer 0,197 Ω·cm en niet een honderdste, 0,135 Ω·cm. Coulombverstrooiing aan de doteringsatomen verlaagt de mobiliteit namelijk tot ongeveer 317 cm²/V·s.
Gebruikte waarden en soort bron
De coëfficiënten van het mobiliteitsmodel zijn representatieve fitwaarden op gemeten mobiliteiten in silicium, zoals die veel worden gebruikt in leerboeken en naslagwerken over halfgeleidercomponenten. De elementaire lading is q = 1,602×10⁻¹⁹ C. Bij echte wafers wordt de resistiviteit gewoonlijk gemeten, bijvoorbeeld met een vierpuntsmeting, en met een omrekennorm zoals SEMI MF723 (voorheen ASTM F723) naar een concentratie omgezet. Gebruik de resultaten van deze tool als richtwaarde en controleer ze met een omrekennorm of meting wanneer je exacte waarden nodig hebt.
De geleidbaarheid is σ = qnμ = 1,6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁶ × 1000 = 1,6 S/cm, en de resistiviteit is het omgekeerde: ρ ≈ 0,63 Ω·cm. “ρ ≈ 1/(qnμ)” is de basisformule om uit de resistiviteit van een wafer de dopantconcentratie te schatten. In de praktijk worden conversietabellen gebruikt die de concentratieafhankelijkheid van de mobiliteit meenemen (zoals de ASTM-norm); bijvoorbeeld een p-type wafer van 1 tot 10 Ω·cm komt overeen met ca. 10¹⁵ tot 10¹⁶ cm⁻³ boor.
AHoe hoger de onzuiverheidsconcentratie, hoe hoger de soortelijke weerstand
BDe onzuiverheidsconcentratie en de soortelijke weerstand zijn niet aan elkaar gerelateerd
CHoe hoger de onzuiverheidsconcentratie, hoe lager de soortelijke weerstand
Antwoord en toelichting tonen
Antwoord: C. Hoe hoger de onzuiverheidsconcentratie, hoe lager de soortelijke weerstand
Naarmate meer onzuiverheden worden toegevoegd, neemt het aantal ladingdragers toe en daalt de soortelijke weerstand; om die reden wordt de soortelijke weerstand van de wafer in de specificatie als maat voor de onzuiverheidsconcentratie opgegeven. Bij p-type van 1 tot 10 Ω·cm ligt de boorconcentratie bijvoorbeeld op circa 10¹⁵ tot 10¹⁶ cm⁻³ en bij 0,01 Ω·cm op circa 10¹⁹ cm⁻³. Bij hogere concentraties daalt de mobiliteit door verstrooiing aan geïoniseerde onzuiverheden, zodat het verband niet eenvoudig omgekeerd evenredig is en wordt omgerekend met tabellen zoals die van ASTM.
CDe resistiviteit is constant, onafhankelijk van de temperatuur
Antwoord en toelichting tonen
Antwoord: A. Bij hogere temperatuur daalt de resistiviteit
Bij een intrinsieke halfgeleider neemt bij stijgende temperatuur het aantal ladingdragers dat over de bandkloof wordt geëxciteerd exponentieel toe, dus de resistiviteit daalt (negatieve temperatuurcoëfficiënt). Bij metalen is het aantal ladingdragers vrijwel constant en neemt de verstrooiing door roosterspanning toe, waardoor de resistiviteit stijgt. Hierop is de thermistor (NTC) gebaseerd. Bij gedoteerd silicium is het aantal ladingdragers rond kamertemperatuur echter vrijwel constant, zodat er een bereik is waarin de weerstand juist stijgt door de dalende mobiliteit.
Wanneer een wisselend magnetisch veld wordt aangelegd, vloeien wervelstromen in de wafer waarvan de grootte afhangt van het geleidingsvermogen (vierkantsweerstand). Door dit met een spoel te detecteren kan de soortelijke weerstand worden gemeten zonder de wafer aan te raken. In tegenstelling tot de vierpuntsmethode met naalden beschadigt dit het oppervlak niet en veroorzaakt het geen verontreiniging, zodat het wordt gebruikt bij ontvangstinspectie van wafers en bij het meten van de dikte van metaallagen (omgerekend uit de vierkantsweerstand). Met mapping kan ook de verdeling binnen de wafer worden beoordeeld.
Veelgestelde vragen
Waarom verschilt de resistiviteit van n-type en p-type bij dezelfde concentratie?
In silicium is de elektronenmobiliteit ongeveer drie keer zo groot als die van gaten. Bij lage dotering is die ongeveer 1400 cm²/V·s voor elektronen en 470 cm²/V·s voor gaten, dus bij dezelfde concentratie is de resistiviteit van n-type ongeveer een derde van die van p-type.
Moet ik de concentratie tien keer verlagen om de resistiviteit tien keer te verhogen?
Bij lage concentraties tot ongeveer 10¹⁵ cm⁻³ is de mobiliteit vrijwel constant, dus is ongeveer een factor tien genoeg. Bij hoge concentraties stijgt de mobiliteit wanneer je de concentratie verlaagt, zodat de resistiviteit minder snel toeneemt en je de concentratie met meer dan een factor tien moet verlagen. Bekijk de veranderende helling in de grafiek.
Kan ik hiermee de concentratie bepalen uit de resistiviteit van een echte wafer?
Als richtwaarde wel. Compensatie door donoren en acceptoren samen, of thermische donoren die ontstaan wanneer CZ-silicium rond 450 °C wordt behandeld, veranderen echter de relatie tussen resistiviteit en concentratie. Controleer exacte waarden met een omrekennorm of met een concentratiemeting zoals SIMS.
