평균 μ를 중심으로 좌우 대칭인 종 모양을 한 연속 확률 분포로, 평균 μ와 표준 편차 σ의 2개로 모양이 정해진다. 가우스 분포라고도 한다. 평균 ±1σ에 약 68%, ±2σ에 약 95%, ±3σ에 약 99.7%가 들어간다. 많은 작은 독립 요인이 더해진 양은 정규 분포에 가까워지므로(중심 극한 정리), 측정 오차나 제조 편차의 모델로 널리 사용된다. z = (x − μ) ÷ σ로 표준화하면, 평균 0, 표준 편차 1인 표준 정규 분포가 된다.
일본어 명칭: 正規分布
정규 분포(Normal Distribution)은(는) 확률·통계와 대기행렬, 수율과 품질 관리 등 2개 분야의 연습 문제 4개에 나와요.
분야: 확률·통계와 대기행렬
정규 분포는 평균에서 가장 높고, 평균에서 멀어질수록 급격히 낮아지는 종 모양을 하고 있습니다. 평균을 바꾸면 모양은 그대로 좌우로 움직이고, 표준 편차를 크게 하면 낮고 옆으로 퍼집니다. 평균 ±1σ, ±2σ, ±3σ에 들어가는 비율은 각각 약 68.3%, 약 95.4%, 약 99.7%이며, 이 '68-95-99.7 규칙'을 기억해 두면 흩어짐을 빠르게 어림할 수 있습니다.
어떤 평균과 표준 편차의 정규 분포라도, z = (x − μ) ÷ σ로 변환하면 평균 0, 표준 편차 1인 표준 정규 분포가 됩니다. z는 '평균에서 표준 편차의 몇 배 떨어져 있는가'를 나타내므로, 단위나 평균이 다른 데이터끼리를 비교할 수 있습니다. 정규 분포표(누적 확률표)는 이 표준 정규 분포에 대해 만들어져 있으며, 예를 들어 양쪽 95%의 범위는 ±1.96입니다.
서로 독립인 많은 작은 요인이 더해진 양은, 개개 요인의 분포와 관계없이 정규 분포에 가까워집니다(중심 극한 정리). 측정 오차나, 많은 공정의 작은 흩어짐이 쌓인 치수 등이 정규 분포에 가까워지는 것은 이 때문입니다. 표본 평균의 분포를 정규 분포로 근사할 수 있다는 것도, 신뢰 구간이나 가설 검정 계산의 기초가 되고 있습니다.
정답: A. 약 2.3%
표준화하면 z = (1,000 − 940) ÷ 30 = 2이므로, 평균에서 +2σ를 넘는 칩의 비율을 구합니다. ±2σ의 바깥쪽은 100 − 95.4 = 4.6%이고, 정규 분포는 좌우 대칭이므로 위쪽만으로는 4.6 ÷ 2 = 2.3%입니다. 이처럼 지연의 흩어짐을 확률 분포로 다루면, 타이밍을 만족하지 못하는 칩의 비율을 어림할 수 있습니다.
관리도에서는, 공정이 안정되어 정규 분포를 따른다면 우연한 흩어짐만으로 점이 평균 ±3σ 바깥으로 나갈 확률은 약 0.27%밖에 되지 않습니다. 그래서 관리 한계를 ±3σ에 긋고, 바깥으로 나간 점은 우연이 아닌 이상일 가능성이 높다고 판단합니다. 식스 시그마도, 규격 한계까지의 여유를 표준 편차의 몇 배로 잡는가라는 사고방식에 기초하고 있습니다.
아닙니다. 부품의 수명은 로그 정규 분포나 와이블 분포, 도착 간격은 지수 분포, 드문 사건의 수는 푸아송 분포처럼, 정규 분포를 따르지 않는 데이터도 많이 있습니다. 특히 평균에서 크게 떨어진 '꼬리'의 확률은, 분포 모양의 차이로 자릿수가 다를 만큼 달라지는 경우가 있습니다. 히스토그램을 그려 모양을 확인한 다음, 정규 분포를 사용할지 판단합니다.
정규 분포에서는 평균 ±1σ에 약 68%, ±2σ에 약 95%, ±3σ에 약 99.7%가 들어갑니다(68-95-99.7 규칙).
어떤 부품의 치수는 평균 50.0 mm, 표준 편차 0.1 mm인 정규 분포를 따른다. 치수가 49.7 m…±2σ의 바깥쪽은 100 − 95.4 = 4.6%이고, 정규 분포는 좌우 대칭이므로 위쪽만으로는 4.6 ÷ 2 = 2.3%입니다.
어떤 회로 경로의 지연이 칩마다 평균 940 ps, 표준 편차 30 ps인 정규 분포를 따라 흩어진다. 정…정규 분포에서는 우연한 변동만으로 점이 이 바깥으로 나올 확률이 약 0.27%로 작으므로, 바깥으로 나오면 공정에 이상이 생겼다고 판단합니다.
공정 관리에 사용되는 관리도(슈하트 관리도)에서 관리 한계선은 일반적으로 어떻게 설정하는가?표준 편차(Standard Deviation) 신뢰 구간(Confidence Interval) 관리도(Control Chart) 가설 검정(Hypothesis Testing) 기댓값(Expected Value) 대기행렬 이론(Queueing Theory) 베이즈 정리(Bayes' Theorem) 사분위수(Quartile) 상관 계수(Correlation Coefficient) 순열과 조합(Permutations and Combinations)