回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)
図の直列RLC回路で、R = 5 Ω、L = 1 H、C = 0.25 F である。回路の特性方程式の根と、ステップ応答の種類の組み合わせとして正しいものはどれか。
- As = −2(重根)で、臨界減衰
- Bs = −2.5 ± j2 で、減衰振動
- Cs = −1 と s = −4 で、過減衰
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正解：C. s = −1 と s = −4 で、過減衰
解き方1(特性方程式): Ls² + Rs + 1/C = 0 に値を入れると s² + 5s + 4 = 0 で、(s + 1)(s + 4) = 0 から s = −1、−4 の異なる2つの負の実根になります。応答は e^(−t) と e^(−4t) の項の和で、振動せずに最終値に近づく過減衰です。解き方2(減衰係数): ωn = 1/√(LC) = 2 rad/s、ζ = (R/2)√(C/L) = 2.5 × 0.5 = 1.25 で、ζ > 1 なので過減衰と判定できます。判別式 R² − 4L/C = 25 − 16 = 9 > 0 で確かめることもできます。
- A. −2 は ωn = 1/√(LC) の値です。臨界減衰(ζ = 1)になるのは R = 2√(L/C) = 4 Ω のときです。
- B. 実部 −R/(2L) = −2.5 に、ωn = 2 をそのまま虚部として付けた誤りです。虚部は √(ωn² − α²) で、ここでは ωn < α なので虚部は生じません。
- C. 正しい。s = −1、−4 の過減衰です。