PID 制御のステップ応答

正解：A. 約16%

標準形の二次遅れ系のオーバーシュートは exp(−πζ/√(1 − ζ²)) で表され、固有角周波数 ωn にはよりません。ζ = 0.5 では exp(−π × 0.5/√0.75) ≈ exp(−1.81) ≈ 0.163 で、約16%です。ζ ≈ 0.707(1/√2)では約4.3%になり、行き過ぎの少ない応答の目安としてよく使われます。行き過ぎが最大になる時刻は π/ωd(ωd = ωn√(1 − ζ²))です。

正解：B. 0.1

単位フィードバックの系のステップに対する定常偏差は 1/(1 + Kp) で、Kp = G(0) を位置偏差定数と呼びます。ここでは Kp = 9 なので、定常偏差は 1/(1 + 9) = 0.1 です。前向きの経路に積分を含まない(0形の)系では、ゲインを上げると偏差は小さくなりますが、0にはなりません。偏差を0にするには、PI制御などで積分を加えます。

正解：A. 定常偏差は小さくなるが0にはならず、大きくしすぎると振動的になったり不安定になったりする

比例制御は、偏差に比例した操作量を出す最も基本的な制御です。Kp を大きくすると応答が速くなり、ステップに対する定常偏差 1/(1 + Kp·K)(K は制御対象の定常ゲイン)も小さくなりますが、偏差がなければ操作量も0になるので、偏差は0にはなりません(オフセット)。また、ゲインを上げると位相余裕が減ってオーバーシュートが大きくなり、遅れの大きな系では不安定になります。定常偏差をなくすには、積分動作を加えます。

正解：B. 目的は一定の目標値や外乱に対する定常偏差をなくすことで、副作用は位相が遅れて振動しやすくなること

積分動作は偏差を時間で積み重ねて操作量にするので、偏差が少しでも残っている限り操作量を変え続け、最終的に定常偏差を0にします。一方、積分要素は位相を90°遅らせるので、位相余裕が減り、オーバーシュートや振動が起こりやすくなります。そこで、積分時間 Ti を短くしすぎないように調整します。応答を速くして行き過ぎを抑え、雑音を増幅しやすいのは、微分動作の特徴です。

正解：C. 操作量が上限に張り付いている間も積分項が偏差を積み重ね続けるため、偏差の符号が変わってもしばらく操作量が下がらず、大きなオーバーシュートが起こる現象

モータの電圧やバルブの開度のように、操作量には上限と下限があります。大きな偏差が続いて操作量が上限で飽和すると、操作量はそれ以上増えないのに、積分項は偏差を積み重ね続けて大きな値になります。制御量が目標値を超えて偏差の符号が変わっても、ためこんだ積分の値が減るまで操作量は上限に張り付いたままなので、大きなオーバーシュートと長い振動が起こります。対策として、飽和している間は積分を止めたり、積分の値を制限したりするアンチワインドアップが使われます。

正解：C. 出力が飽和している間は、偏差が飽和を深める向きなら積分を止めるか、制限した値との差を積分に戻して、積分の値を抑える

1つ目の方法は条件付き積分(クランプ)で、出力が飽和していて、偏差がさらに飽和を深める向きのときは積分を更新しません。2つ目はバックカリキュレーションで、制限する前の計算値と実際に出した値の差に係数を掛けて積分に戻し、積分の値を引き戻します。操作量の変化分を計算する速度形のPID制御では、出力を制限するだけでワインドアップが起こりにくくなります。整数の固定小数点で計算するときは、積分の変数そのものの桁あふれにも、飽和演算などで備えます。